Conway’s IRIS and the windscreen wiper theorem

Conway’s whatever … it’s named after John Conway and so it must be good 🙂

Wiki page dedicated to John Conway
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Horton_Conway

Wiki page Conway’s circle
https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_circle_theorem

Wiki page on his Game of Life
https://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life

Michael de Villiers (the connection with the windscreen wiper theorem, read this one first)
http://dynamicmathematicslearning.com/conway-circle-theorem-special-case-side-divider-theorem.pdf
http://dynamicmathematicslearning.com/conway-circle-as-special-side-divider-theorem.html
Also check out Michael’s main page http://dynamicmathematicslearning.com/homepage4.html

Matt Baker’s tribute blog to John Conway

Some Mathematical Gems from John Conway

Tanya Khovanova’s blog post on Conway’s circle showing Conway’s wearing a Conway circled Mathcamp t-shirt

Conway’s Circle

Colin Beveridge’s proof without words

The Big Lock-Down Math-Off, Match 14

Colin Beveridge and Elizabeth A Wilson (his proof without words explained 🙂

Conway’s Circle Theorem: a proof, this time with words

Paul Farrel’s beautiful animated proof

Me on Conway’s circle and Conway’s pinwheel tiling for the Gathering of Gardner

Card Colm on Conway and his circle
https://www.cardcolm.org/JHC.html
https://cardcolm.org/Pics/RybaConwayCircle.pdf

Eric Braude
Conways Circle Theorem: A Short Proof Enabling Generalization to Polygons
https://arxiv.org/abs/2111.01835

Mathologer video on curves of constant width
New Reuleaux Triangle Magic

Mathologer videos on Conway’s proof of Morley’s miracle
Math is Illuminati confirmed

Part 2

Music: Rain by ANBR and Ethereal Ottom
T-shirt: ages old, don’t remember where I got this one from

Enjoy!

Burkard

مرحبًا بك في فيديو Mathologer آخر. أنت هنا من أجل IRIS الغامض الموجود في الصورة المصغرة، أليس كذلك؟ بلغت ذروتها اهتمامك، إيه؟ حسنا، دعونا مطاردته. ابدأ بأي مثلث قديم. في الزاوية المقابلة للجانب الأحمر، تنمو نسختان من ذلك الجانب الأحمر، هكذا. ثم مقابل اللون الأزرق، ينمو نفس الشيء نسختين من الجانب الأزرق وهناك نسختين باللون الأخضر. مثلث بشوارب، لطيف 🙂 الآن، لا يهم المثلث الذي نبدأ به، نقاط النهاية الست تلك ينتظرون ما هو المميز في تلك النقاط الست؟ هل يمكنك التخمين؟ تلك النقاط الست هي… هل فهمت؟ … نعم، تلك النقاط الست تقع على شكل دائرة. حقًا؟ بالتأكيد إذا كان سيكون أي شيء، فقد كان دائرة ولكن لا يزال الأمر مفاجئًا جدًا، أليس كذلك؟ عادة ما تحدد ثلاث نقاط عشوائية الدائرة. من ناحية أخرى، أربع نقاط عشوائية عادة لا تقع على دائرة وبالطبع من غير المرجح أن تقع خمس أو ست نقاط عشوائية على دائرة. على أية حال، هذه الدائرة المعجزة المكونة من ست نقاط تسمى دائرة كونواي نسبة إلى مكتشفها عالم الرياضيات الأسطوري جون كونواي. كان كونواي أستاذًا للرياضيات في جامعة برينستون، وكان عبقريًا معتمدًا، ومخترع العديد من الألعاب الرياضية البارعة التي أصبحت أيضًا ذات شعبية كبيرة خارج الرياضيات. على سبيل المثال، من المحتمل، حتى لو لم تكن عالم رياضيات، أنك على دراية بلعبة الحياة الغريبة التي كتبها كونواي. لقد رأيت هذا النوع من الحياة الفضائية ثنائية الأبعاد من قبل، أليس كذلك؟ وهذا بسبب كونواي. على أي حال، فإن المعجزات الصغيرة مثل دائرته ستظهر باستمرار في المحادثات مع جون كونواي، وإذا اعتبرك جديرًا، فيمكنك أن تتوقع أن تواجه تحديًا للتوصل إلى دليل على الفور. سأعرض لكم الدليل النهائي الرائع بعد ذلك، وهو الدليل الذي يتضمن IRIS في عنوان هذا الفيديو. سأخبرك أيضًا عن بعض الحياة الجديدة والمثيرة خارج دائرة كونواي: على وجه الخصوص نظرية ممسحة الزجاج الأمامي الجميلة التي ستجعلك تبتسم في المرة القادمة التي تمطر فيها 🙂 ومع ذلك، إذا كنت تعتبر نفسك جديرًا، فقبل أن تشاهد بقية الفيديو، اقبل تحدي كونواي وحاول التوصل إلى دليل خاص بك. قم بالإبلاغ عن جهودك في التعليقات 🙂 هنا يبدو جون كونواي مثل القديس جون قليلاً، أليس كذلك؟ 🙂 على أية حال هل توصلت إلى دليل؟ لا؟ ليست مشكلة، وليست سهلة 🙂 هل تريد تلميحًا؟ حسنا، هنا واحدة. عندما تتعامل مع دائرة محتملة، ما هو أول شيء يجب أن تبحث عنه؟ نعم قلبها بالطبع مركز الدائرة 🙂 وكيف نحدد موقع المركز؟ حسنا، على سبيل المثال عن طريق تقليص الدائرة. هناك يتقلص. هناك هذا المركز. لكن انتظر لحظة. قبل أن تنهار الدائرة إلى المركز، هل لاحظت شيئًا رائعًا؟ لا؟ هل ومضت؟ اسمحوا لي أن تظهر لك مرة أخرى. مستعد؟ هذه المرة راقب عن كثب 🙂 لقد رأيت ذلك هذه المرة، أليس كذلك؟ قبل أن تنهار الدائرة إلى نقطة ما، يبدو أنها تلامس جميع جوانب المثلث في وقت واحد. هناك الترجيع قليلا. …هذا رائع حقًا، أليس كذلك؟ وهكذا يبدو أن المثلث المشارب يولّد في الواقع قزحية العين (IRIS)، وليس فقط الدائرة الخارجية. هل يرغب عاشق المثلث الذي بداخلك في إثبات كل هذا مرة أخرى، بعد أن تم تزويدك بهذا الدليل الإضافي؟ أوقف الفيديو مؤقتًا إذا أردت، لكننا سنستمر في البحث عن دليل جميل بأنفسنا. لنبدأ بالخاتم ونسلط الضوء على أحد حباله. ومن الواضح أن كل هذه الحبال لها نفس الطول. واضح، أليس كذلك؟ كما أن النقطة التي يلامس فيها السلك الدائرة الداخلية هي نقطة المنتصف الدقيقة للسلك. هناك. واضح أيضا. حسنًا، ما يعنيه هذا هو أنه إذا بدأنا بدائرة وثلاث دعامات متساوية مع مراكز محددة. ثم إذا قمنا بترتيب هذه الدعامات حول الدائرة بهذا الشكل يمكننا التأكد من أن الأطراف الستة تقع على دائرة تشكل مع تلك التي بدأنا بها قزحية. لا يزال كل شيء واضحًا تمامًا، أليس كذلك؟ لذا، لإثبات أن المثلث ذو الشعيرات يمتد حقًا إلى القزحية، كل ما يتعين علينا إظهاره هو شيئين: أولاً، علينا أن نوضح أن هذه الدعامات الثلاثة متساوية الطول. واضح جدًا، أليس كذلك؟ جميعها مكونة من 1 أحمر و1 أزرق و1 أخضر لكل منها. أووكي 🙂 والشيء الثاني الذي يجب أن نوضحه هو أن النقاط التي تلامس فيها الدعامات الدائرة الداخلية هي مراكز الدعامات. كيف نفعل ذلك؟ حسنًا، هذه فكرة جميلة. دعونا ندير هذا الدعامة الأفقية المميزة حول إحدى زوايا المثلث . تلك الزاوية البرتقالية هناك. حسنًا، اذهب، قم بالدوران. بما أن الطرفين الأزرقين متساويان طول. سوف ينتهي الدعامتان في تراكب مثالي. لطيف – جيد. لكن هل لاحظت شيئًا لطيفًا جدًا؟ هناك. يبدو أن نقاط الاتصال مع الدائرة تهبط أيضًا فوق بعضها البعض. لماذا هذا؟ دعونا نلقي نظرة أخرى على تكوين البداية. حسنًا، من الواضح أن هاتين المسافتين هنا متساويتان. هذا يعني أن الدعامتين لا يتم تركيبهما بشكل مثالي فحسب، بل يتم ذلك أيضًا من خلال نقطتي الاتصال. على ما يرام. الآن قم بتلوين الدعامة بهذا الشكل. إذن ما نريد إظهاره هو أن طول اللون الأرجواني يساوي طول اللون المائي تمامًا. هل أنت مستعد للحظة AHA لطيفة على ثلاث مراحل؟ ها نحن. المرحلة الأولى تدور حول الزاوية اليمنى. صدفة مثالية. المرحلة الثانية. تدور حول الزاوية العلوية. صدفة مثالية مرة أخرى. المرحلة الثالثة. من قبيل الصدفة المثالية مرة أخرى، وبشكل عام، قامت الأجزاء المائية والأرجوانية بتبديل أماكنها، مما يوضح أن طول اللون المائي هو بالضبط نفس طول اللون الأرجواني. هل أعجبك هذا؟ جميل جدا أليس كذلك؟ وبالطبع الأمر نفسه ينطبق على الدعامتين الأخريين. وهذا يوضح أن النقاط الست تقع على شكل دائرة. وانتهينا. لقد أكدنا وجود IRIS لكونواي. لكن دعوني أوضح لكم طريقة ثانية للتأكد من أن جزأي الدعامة متساويان في الطول. هناك. هل تتذكر أن هاتين المسافتين متساويتان؟ كما هؤلاء وهؤلاء. لكن، تذكر بعد ذلك أن نسختين من الجانب السفلي للمثلث تصبحان الشعيرات الموجودة في الأعلى. ثم يصبح هذان الاثنان شعيرات على اليمين. وأخيرًا تلك هي الشوارب الموجودة على اليسار. الآن دعونا نسلط الضوء على الدعامة الأفقية مرة أخرى. هنا يأتي السحر 🙂 تادا 🙂 نفس الطول مرة أخرى. ليس سيئًا أيضًا، ألا تعتقد ذلك 🙂 الآن دعونا نجري تصويتًا. هل أعجبك دليل الدوران بشكل أفضل، هذا؟ أو هل أعجبك دليل التلوين أكثر؟ قبل أن تتابع الفيديو سجل صوتك في التعليقات. لقد قمت بالفعل بتجربة نسخة من هذا العرض التقديمي في أحد فصولي الدراسية في الجامعة وهناك صوت معظم طلابي لصالح دليل التلوين. عادل بما فيه الكفاية، دليل التلوين هو بالتأكيد أسرع. ومع ذلك، وبصرف النظر عن كونه جميلًا جدًا أيضًا، فإن دليل الدوران له شيء رئيسي آخر. يُنتج دليل الدوران في الواقع طريقة جديدة وجميلة لإنشاء القزحية التي لن يعرفها حتى عشاق المثلث الأكثر تشددًا بينكم، وهي طريقة جديدة تجعل قزحية كونواي الثابتة تتقلص وتتوسع مثل قزحية الحياة الحقيقية 🙂 هذا هو التالي الفصل من الفيديو لدينا. دعنا نذهب لجولة ثانية من الدوران. ركز هذه المرة على نقطة النهاية الأرجوانية للدعامة الدوارة. هذا واحد هناك. آها، كما ترون، بينما ندور، تدور نقطة النهاية ذات اللون الأرجواني عبر جميع نقاط النهاية الست للشوارب، نقاطنا الست الخاصة. وعندما تنظر إلى الدعامة الدوارة، ألا تتذكر ماسحات الزجاج الأمامي أثناء عملها؟ وهكذا، مجرد التركيز على ماسحات الزجاج الأمامي، يعطي طريقة ثانية مثيرة للاهتمام للغاية لتوليد النقاط الست. لسهولة المقارنة هنا مرة أخرى هي طريقة كونواي الأولى. مثلث ثم مثلث مقلوب. وهناك النقاط الست. الآن الطريق الثاني. مثلث. ثم تقوم الشعيرات اللانهائية بوضع نسخة من الجانب الأحمر لتحديد النقطة الأولى. ثم ابحث عن جميع النقاط المتبقية من خلال إجراء ممسحة الزجاج الأمامي الجميل هذا. وهناك الدائرة مرة أخرى. وشقيقتها الأصغر حجمًا. ولكن الآن الجانب الإضافي الرائع لهذه الطريقة الثانية لتوليد IRIS هو أنه تبين أنها حالة خاصة من نظرية ماسحة الزجاج الأمامي التي تولد عددًا لا نهائيًا من القزحيات. وهنا عدد قليل من هذه القزحيات. مفتون؟ حسنًا، دعوني أريكم من أين تأتي تلك القزحيات الأخرى. ابدأ مرة أخرى بالنقطة الخاصة الموجودة على الدعامة السفلية. لكن الآن بدلًا من نقطة البداية الخاصة هذه، فلنبدأ بنقطة أخرى على المستوى الأفقي. هذا هنا، أبعد قليلاً. اذهب إلى iiiin. الآن أطلق العنان لمساحات الزجاج الأمامي مرة أخرى. لقد حصلنا على ست نقاط جديدة والتي تم إيريسها أيضًا. وكل هذا ينطبق بالفعل على أي نقطة بداية مهما كانت على الخط الأفقي. حتى النقاط الموجودة على جوانب المثلث نفسها تعمل. الق نظرة. كم هو رائع ذلك؟ لذا فإن نظرية دائرة كونواي هي في الواقع مجرد حالة خاصة من "نظرية ممسحة الزجاج الأمامي" العامة جدًا والتي تنص على ما يلي: ابدأ بأي نقطة على شعيرات المثلث. ومن ثم فإن مسح نقطة الزجاج الأمامي يعطي ست نقاط على دائرة تشكل مع دائرة المثلث قزحية. يجب أن أذكر أنه يمكن إثبات نظرية مساحة الزجاج الأمامي الكاملة من خلال الدوران تمامًا كما فعلنا في حالة كونواي الخاصة. لذا، فقد أخطأ طلابي في فهم الأمر: فالدليل الدوار هو في الواقع الدليل الأفضل. نعم، يجب أن أعود وأفشلهم جميعًا 🙂 فقط أمزح 🙂 لم أتمكن من تحديد التسلسل الزمني الدقيق لاكتشافات نظرية دائرة كونواي ونظرية ممسحة الزجاج الأمامي. لم تحقق نظرية دائرة كونواي بعض الشهرة إلا بعد وفاة جون كونواي بسبب كوفيد-19 في عام 2020، عندما ذكر مات بيكر الدائرة في مدونته التكريمية لجون كونواي. منذ ذلك الحين ظهر عدد من البراهين المختلفة لنظرية دائرة كونواي، وما قدمته اليوم تم استخلاصه من براهين كولين بيفريدج وبول فاريل. بعد ذلك، أشار مايكل دي فيلييه العام الماضي فقط إلى أن نظرية دائرة كونواي هي حالة خاصة من نظرية مساحة الزجاج الأمامي التي كانت معروفة منذ عام 1994 على الأقل. على أي حال، سأضع روابط لكل ما تمكنت من الحصول عليه ابحث عن التسلسل الزمني في وصف هذا الفيديو. إذا كان لديك المزيد من المعلومات حول من اكتشف ماذا ومتى أو بعض الحكايات التي تتضمن أيًا من النظريتين، فيرجى إخباري بذلك في التعليقات. في الواقع، نظرية ممسحة الزجاج الأمامي هي اسمي لشيء كان معروفًا في الأصل باسم نظرية "المقسم الجانبي" غير الجذابة . لقد اختلقت أيضًا اسم قزحية كونواي. إذا علمني YouTube أي شيء، فهو حقيقة أن الحصول على عنوان أو اسم جيد يمكن أن يكون مفتاحًا لنجاح الفيديو أو النظرية. حسنًا، في الختام، اسمحوا لي أن أعرض لكم عرضًا دراميًا لنظرية ماسحة الزجاج الأمامي التي تتضمن بعض قطرات المطر وتطورًا غير متوقع في النهاية. ما رأيك في عرضي لليوم الممطر لنظرية ممسحة الزجاج الأمامي؟ حق جميل؟ لكن أين الالتواء الذي وعدتك به؟ حسنا القي نظرة على هذا. بعد كل هذا المسح لا يزال هناك ماء في IRIS. ليس هذا مهمًا بقدر ما يتعلق الأمر بأي شيء قلته حتى الآن ولكن فكر في الأمر للحظة. كانت مساحات الزجاج الأمامي ذات أطوال مختلفة. هذا يعني أن المنطقة الممسوحة لا يمكن أن تكون دائرة. لكن إذا لم تكن دائرة، فما هو شكل المنطقة الممسوحة؟ حسنا، دعونا نلقي نظرة فاحصة. ليست دائرة، ولكن مثل الدائرة، يحتوي هذا المنحنى الغريب على النقاط الست الخاصة. للمقارنة، هنا الدائرة. مثير للاهتمام أليس كذلك؟ الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو أن هذا المنحنى الغريب تبين أنه أحد تلك المنحنيات الغريبة ذات العرض الثابت والتي ذكرتها بالفعل في مقطع فيديو سابق. ما يعنيه هذا هو أنه إذا قمت بوضع المنحنى بين خطين متوازيين. ومن ثم، بغض النظر عن الاتجاه الذي يتجه إليه الخطان المتوازيان، تكون المسافة بينهما دائمًا هي نفسها. لذا، هذا المنحنى، تمامًا مثل الدائرة، له نفس القطر في جميع الاتجاهات. ويعني هذا، من بين أمور أخرى، أنه عندما تقوم بتدوير المنحنى داخل مربع بالحجم المناسب تمامًا، فإنه سيلامس جميع جوانب المربع في جميع الأوقات. جميلة حقًا وغير متوقعة تمامًا، ألا تعتقد ذلك؟ وهنا لغز صغير لك لإنهاء الأمور لهذا اليوم. مستعد؟ أيهما أكبر، قطر دائرة كونواي أم قطر المنحنى الغريب؟ دعنا نعرف بماذا تفكر في التعليقات. حتى المرة القادمة 🙂