Les idéaux d’Emmy Noether – Un texte, un mathématicien

Depuis 2008, le cycle « Un texte, un mathématicien » permet à un large public de découvrir les mathématiques contemporaines. À chaque séance, le conférencier part d’un texte récent ou ancien – de Buffon à Moser, en passant par Poincaré ou Turing – pour présenter des recherches mathématiques en cours.

Par Xavier Caruso, mathématicien, université de Bordeaux

Cycle de conférences organisé par la BnF et la Société Mathématique de France.

Plus d’informations sur ce cycle de conférences : https://www.bnf.fr/fr/agenda/un-texte-un-mathematicien-0

Bonsoir à toutes et à tous et bienvenue à la Bibliothèque nationale de France alors ce soir on a la chance d’accueillir les lycées bla Pascal Jules Ferry la fontaine Sophie Germain Charles Magne Évariste Gallois et Fénelon sainmarie j’espère que j’oublie personne on pense également au lycée Louis Armand

Et au lycée français d’Oslo qui nous suivent à distance alors pour celles et ceux qui ne connaissent pas déjà les conférences texte un mathématicien elles sont organisées en collaboration par la Bibliothèque nationale de France animat l’association et la société mathématique de France le magazine tangente et la Fondation bless Pascal sont partenairire

De ce cycle alors la saison 2024 continue avec cette 3e séance aujourd’hui c’est Xavi carouso qui nous parlera des idéaux des mutaires à ce propos la société mathématique de France A é un livret sur la mathématicienne émine terre que vous trouverez à la vente sur le site de la

Société mathématique de France la SMF c’est pas cher et c’est de grande qualité donc n’hésitez pas xavier est directeur de recherche en mathématiqu au CNRS à l’Université de Bordeaux il a passé le bac à Cannes au lycée Bristol en 97 puis il a fait une classe prépa au Centre international de Valbonne pas

Très loin de Can après une scolarité à l’École normale supérieure de Paris il soutient en 97 une thèse intitulée attention conjecture de l’inertie modérée de ser c’est bien ça 97 c’est pas 97 ça c’est le bac c’était le bac mince ah oui il y a une petite erreur

Euh c’était en 2005 c’est ça il est il est au CNRS depuis lors d’abord à Rennes puis à Bordeaux où il est maintenant ses recherches en mathématiqu portent sur l’algèbre et l’arithmétique sa spécialité étant les nombres péadiques il s’intéresse également aux applications de cette notion en probabilité et en informatique Xavier a

Également une activité de diffusion bien rempli il a entre autres réalisé le film mais où est donc le petit côté qui explique certains effets d’optique dus à la réfraction de la lumière Xavier a également créé le cycle de conférence mathématique parc que certains et certains d’entre vous suivront peut-être

Bientôt parce qu’il est destiné aux élèves de licences et de prépas scientifique bon exposé à toutes et à tous Xavier je te laisse la parole merci beau oh ça marche merci beaucoup pour cette introduction euh bonjour à tous je suis très honoré d’être ce soir à la BNF euh pour faire

Cet exposé sur une grande ma une grande mathématicienne pardon euh du début du du 20e siècle comme nous allons le voir donc qui est et mineire donc dans cet exposé j’aimerais vous présenter sa vie son œuvre et euh sa contribution donc aux mathématiques donc je commence effectivement c’est ma partie 1 par une

Vue sommaire de ce qu’ a été la vie et l’œuvre de l’œuvre scientifique de Emy no donc pour commencer quelques repères sur sur sa sur sa vie quelques repères biographiques donc euh inire né à herlangen donc en Allemagne en 1882 son père et vous voyez apparaître

Ici sur l’écran et Max Neter qui était lui-même mathématicien et qui travaillait comme professeur à l’Université d’Erlangen sa mère c’est Ida Kaufman alors malheureusement vous voyez que j’ai pas trouvé de de portrait d’elle sur internet donc vous avez juste droit à une silhouette donc éineire passe sur en enfant c’est ça

Fait sa scolarité à alangen jusque donc à l’âge de 18 ans en 1900 elle obtient un diplôme pour enseigner les langues donc les langues en l’occurrence c’est le le le français et l’anglais langue qu’elle apprend donc sa langue évidemment sa langue natale sa langue natale c’est le l’allemand dans une école de jeunes

Fillees ceci dit h il semble à peu près clair que sa passion déjà dès cet âge était portée sur les mathématiques qu’elle a en particulier je pense appris auprès auprès auprès de son père que je rappelle donc était mathématicien euh en tout cas euh bien queelle ait obtenu ce diplôme pour

Enseigner elle ne va jamais vraiment l’utiliser en tout cas elle va jamais enseigner dans cette école dans dans dans une école dans cette école de jeunes filles les langues et dès l’année suivante donc dès 1901 elle poursuit des études à l’université d’Erlangen alors en fait elle Minter n’a pas le le baccalauréat à

Ce moment parce que tout simplement parce que d’après ce que j’ai compris l’examen du baccalauréat à cette époque n’était pas ouvert pour les filles donc elle n’a pas pu le passer en particulier elle peut pas vraiment s’inscrire en tant qu’étudiante à l’université donc elle y va plutôt en tant

Qu’auditrice et là encore c’est pas forcément facile elle doit demander explicitement l’accord à chacun des des professeurs de pour s’il veut bien ou non qu’elle assiste à son cours ce n’est qu’en 1903 que il y a possibilité justement pour les pour les jeunes filles de passer le l’examen du

Baccalora euh le rifer prfung en allemand et donc dès que cette possibilité est ouverte elle elle s’inscrit et elle le passe donc en 1903 à à Nurenberg donc Nurenberg c’est une ville qui est très proche d’lang euh dans la foulée elle continue des études mais cette fois-ci plus à l’université d’Erlangen mais à

L’université de de gtingen donc gtingen c’est un peu plus au nord en Allemagne et il faut il faut comprendre en fait que gtingen c’est vraiment le centre nevalgique pour les mathématiques en en Allemagne c’est vraiment là où harlangen est une toute petite université gotingen c’est vraiment le grand centre où les

Les mathématiques modernes se font et elle a probablement sur les sur les conseils de son père d’ailleurs elle va poursuivre ses études là-bas et là on voit maintenant qu’elle a complètement peut-être pas abandonné mais enfin en tout cas qu’elle se focalise plus sur les langues mais elle étudie l’astronomie et les mathématiques

Et surtout les mathématiques en fait alors malheureusement au bout de de semestres à peine elle tombe malade et elle est contrainte de rentrer à alangen et donc elle peut rester finalement à gtingen que que quelques années euh que quelques mois pardon mais elle a l’occasion à cette à ce moment de rencontrer grands

Mathématiciens de l’époque donc sur un getting gun donc en particulier David Hilbert dont on va reparler un petit peu dans la suite et euh Félix Klein Félix Klein qu’il est probable qu’elle connaissait déjà avant vu que c’était un ami de son père et qui est qui qui a été

Un moment aussi lui-même à alangen donc je disais à à après ce bref passage à gtingen elle retourne à à alangen continuer ses études à l’université d’langen donc et entre 1904 et 1907 à peu près elle prépare une thèse de mathématiques sur la théorie des invariants donc son directeur de

Thèse c’est Paul Gordan vous voyez ici alors comme je le disais il faut savoir que c’est une petite université essentiellement il y a que de deux professeurs de mathématiques qui sont max son père et Paul Gordan donc finalement pas énormément de choix pour choisir un directeur de T

Mais ça lui convient quand même très bien je pense donc elle fait sa thèse sous la direction de Paul Gordan elle a soutient en 1907 avec la meilleure note possible enfin la meilleure mention possible un peu l’équivalent de ce qu’on appellerit aujourd’hui les félicitations du jury entre 1907 et 1915 ça’ensit une période

Où pas vraiment d’ stabilité mais enfin en tout cas où elle elle n’a pas de de poste de de support disons pour pour pour pour enseigner mais elle est sa passion pour les mathématiques ne s’en démour pas et elle va enseigner pendant toutes ces années bénévolement à l’université d’Erlangen remplaçant j’allais dire

Occasionnellement mais en fait régulièrement son père de temps en temps et Paul Gordan à d’autres moments euh en fait c’est un arrangement qui convient assez bien à son père qui avait une santé plutôt fragile donc certain moment il était bien content que sa fille puisse le remplacer et qui était évidemment

Tout à fait compétente à ce moment elle rencontre aussi erns Fisher qui vient qui est recruté à à l’université d’Erlangen et c’est vraiment une personne avec qui elle va se se lier d’amitié et beaucoup beaucoup parler de mathématiqu et et c’est à ses côtés ensemble qui vont vraiment apprendre les mathématiques

Modernes entre guillemets en tout cas celles qui sont faites à gotingun et que qui cette cette ces discussions pas vraiment cette collaboration parce que je pense pas qu’ils aient écrit d’article ensemble mais ces discussions permanentes qu’elle a avec ern Fisher vont vraiment influencer sa manière de voir les mathématiques dans la

Suite en 195 elle est invitée par Hilbert et par Klein à l’université de gotingen alors le plan initial c’était de l’inviter sur ce qu’on appelle un poste de Private dosent euh donc bon ça existe plus ménant mais c’est une sorte de de de postes qu’on peut avoir euh en

Général après avoir soutenu une thèse qui en général n’est pas rémunéré mais qui donne quand même accès à à l’enseignement on peut donner des cours avec ce poste et euh euh qu’est-ce que je disais euh oui donc elle est invitée sur l’idée initiale était de qu’elle puisse venir sur un tel

Poste en vue de préparer ce qu’on appelle une ilitation donc il a un diplôme supplémentaire qu’on passe après la thèse et qui permet lui d’accéder à des postes de professeur à l’université alors malheureusement les choses se passent pas exactement comme ça euh parce que donc la la faculté de

Math qui était assez proche de la faculté était assez proche à cette à ce moment de la Faculté de Philosophie et les philosophes ne n’acceptent pas qu’une femme puisse accéder à un poste de Private docent donc sen suivent des des tensions entre la faculté de math et

La faculté de philosophie qui si j’ai bien compris quelques années plus tard va conduire à la séparation des deux facultés euh le pour ce qui concerne notur l’arrangement est le suivant elle est quand même invitée à à aller à gtingen où elle va pouvoir aussi enseigner toujours bénévolement

Euh euh mais les officiellement les cours devront être donnés sont donné par Hilbert ou par Klein selon le cas sauf que en pratique c’est vraiment elle qui officie devant les les étudiants et les étuds et les études les étudiants disons c’est à ce moment qu’elle rencontre Richard Kin qui va jouer un

Rôle aussi dans sa carrière mathématique dont on reparlera par la suite donc un grand mathématicien de de cette époque elle passe en fait son habilitation en 1919 et finalement encore plusieurs années plus tard en 1923 elle obtient enfin ce prof d’enseignant ce poste pardon d’enseignant à l’université dans enseignante à l’université qu’on appelle

L’erou trag fur algebra donc elle va le le garder pendant pendant 9 ans jusqu’en 1932 et là se passe un nouvel événement important dans dans la dans la vie de notire c’est qu’en 1933 le régime nazi arrive au pouvoir en Allemagne et al je l’ai pas je l’ai pas dit encore mais

Notire est bien que non pratiquante et juive et issue d’une famille juive et à ce moment le gouvernement fait passé une loi qui interdit aux Juifs d’enseigner en particulier à l’université et donc le poste pardon et donc le poste de notire le poste d’enseignant d’enseignante qui

Avait notaire lui est retiré et elle se retrouve encore une fois sans emploi ceci dit notire a à cette époque de sa carrière a atteint une certaine notoriété elle reçoit des invitation de ses collègues étrangers en particulier en Russie en en en ang Angleterre et aux États-Unis et elle finalement elle va

Aux États-Unis donc dans une université qui s’appelle brin ma al c’est pas du tout un nom un nom un nom italien c’est plutôt du Breton ça veut dire petite colline si je dis pas de bêtises donc une université très proche de Princeton donc Princeton où il y a le grand centre nouvellement créé

L’IAS l’Institute for advance studies qui est vocation à devenir vraiment grand sentre scientifique et où il a par exemple Einstein l’invitation normalement était pour une année mais elle mais elle a été reconduite une deuxième année et après ceci il y a une fin un peu tragique parce que ne décède en fait en

1935 des suitees d’une complication d’une maladie en fait elle avait un kiste aux over et et donc elle a dû être hospitalisée et à la suite de elle est décède à la suite de cette hospitalisation des suitees de des complications donc de de l’opération donc voilà pour quelques

Repèr bibL biographiqu pardon sur la sur la vie de neaire et donc maintenant je vais essayer de rentrer un peu plus peut-être dans les dans les mathématiques mais avant de parler des mathématiques de Neire euh je vais essayer de vous brosser un paysage de ce que sont les mathématiques au début du

20e siècle alors bien sûr ce sera largement incomplet euh mais euh je voulais vous montrer que au début du 20e siècle donc à la période où a vécu ne terre les mathématiques sont vraiment en pleine effervescence il y a vraiment des choses vraiment des mathématiques nouvelles qui apparaissent

Ou des mathématiques qui son renouvelle complètement qui se développe à travers quelques exemples qui vont vraiment marquer la la carrière de notaire donc le premier bon c’est pas proprement parler des mathématiques disons mais c’est la physique je pense qu’il faut vraiment le mentionner c’est l’époque où les les les grandes nouvelles théories

Physique apparaissent donc ça vous aura pas échappé la relativité euh et donc avec Einstein et la mécanique quantique qui sont les deux grandes révolutions du début du 20e siècle donc ici j’ai cité Schrodinger mais ce n’est pas le seul bien sûr a contribué à la mécanique antique il y a plein d’autres gens

Notamment euh euh d’isenberg euh alors c’est certes c’est de la physique mais c’est quand même de la physique qui demande beaucoup de mathématiques qui est très liée à la physique c’est il y a beaucoup de notion mathématiques derrière donc c’est quelque chose qui risonne dans ce que font les mathématiciens de l’époque

Un autre point qui prend énormément d’ampleur à cette époque c’est ce qu’on appelle la théorie algébrique des des nombres c’est essentiellement l’arithmétique avec comme grand euh disons euh grande euh réalisation la démonstration de nouveau cas du théorème de ferma alors je reviendrai là-dessus donc j’en dis pas plus pour l’instant mais ça va

Être je reviendrai par la suite sur ce point dans la dans mon exposé euh les les artisans disons de de ce de ce développement sont Richard dekin qu’on a déjà vu donc on a vu qu’il a eu l’occasion de rencontrer notaire et je voulais citer aussi coomer Ernst coomer

Qui est qui a beaucoup vré dans ce dans ce domaine euh une autre chose qui arrive en mathématique c’est le le développement de ce qu’on appelle maintenant la topologie par le mathématicien français Henry pointcré et qu’est-ce que la topologie je l’ai défini ici de cette manière c’est des nouvelles méthodes de calcul pour

Étudier les formes géométriques donc le l’objet d’étude c’est les formes géométriques et ce qui est surtout important je pense dans dans cette phrase c’est vraiment qu’on l’étudie par le calcul on va plus faire des on va vraiment faire des calculs sur ces objets géométriques des des des calcul

Au sens mathématique du terme et ça donne ce que je rencontre Point Carré c’est qu’il comprend que faire des calculs comme ça c’est possible et ça donne vraiment des outils puissant pour étudier ses formes géométriques de manière plus générale la géométrie peut-être un peu plus traditionnelle qu’on connaît qui sont

Pas juste les formes mais les longueurs et ce genre de choses se développent aussi beaucoup euh notamment sous l’influence de féx Cline qu’on a déjà vu qui qui lorsqu’il était à langen a présenté ce qu’on appelle maintenant le programme d’langen et et le point de vue en géométrie change un peu radicalement

C’est-à-dire que au lieu de de considérer que les objets fondamentaux je sais pas c’est les droites les triangles les cercles comme vous êtes habitué à le faire et bien le les objets fondamentaux de la nouvelle géométrie de selon kine disons ça va être les transformations donc plutôt les translations les rotations les symétries

Genre de choses et et et Félix Kin va vouloir étudier ces transformations leur propriété d’invariance et surtout faire du calcul sur ces transformation à nouveau donc encore la notion de calcul sur des objets un peu différents apparaît à ce moment are branche de la géométrie qui

Est un petit peu différente et ce qu’on appelle la géométrie algébrique qui elle aussi se développe beaucoup à cette époque et à nouveau les personnes qui contribu le plus ce sont B le père de notire lui-même max notire et si dans géomérie algeébrique qu’on inclus ce qu’on appelle la théorie des invariants

Et je peux pas ne pas citer David Hilbert qui est une des grandes figures de de de de ces développements je reviendrai sur la partie géométrie algébrique par la suite donc pour l’instant j’en dis aussi pas beaucoup plus et enfin il y a l’algèbre euh qui qui aussi fait son apparition à

Ce moment enfin l’algèbre existait depuis très longtemps mais je veux dire qu’il se renouvelle aussi à ce moment et là pour le coup bah c’est justement éi Neire qui va être l’une des principales contributrices au développement de l’algèbre comme j’espère vous en convaincre dans la suite de l’exposé alors qu’est-ce que

L’algèbre pas forcément facile à définir disons quelques mots pas une définition formelle mais c’est ce que j’ai envie de dire c’est l’art de faire de calcul donc pour reprendre ce terme de calcul que j’ai utilisé donc par exemple si vous rappelez cours de math du collège ou du lycée bah tout ce qui

Est développement factorisation manipulation d’expression avec des X des y résolution d’équation ce genre de chos c’est rentre dans l’algebre euh ceci dit en donc au début du 20e siècle la gèbre se transforme complètement et elle ce n’est plus juste l’art de faire des calcul des pages et

Des pages de calcul comme ça mais ça devient une réflexion sur le calcul alors qu’est-ce que j’entends par là et pourquoi on a besoin de de ce pourquoi les mathématiciens et les mathématiciennes ont ressenti le besoin euh de de changer comme ça radicalement ce point de vue sur l’algebre ben c’est

Ce que j’ai essayé de vous faire comprendre tout à l’heure qu’on commençait à faire des calculs avec des trucs qui étaient pas forcément des nombres on faisait des calculs avec des des transformations géométriques avec des même des figures géométriques ce genre de choses on commence à faire des

Calculs avec des objets de plus en plus variés et donc on arrive ce besoin de réfléchir un peu plus précisément à ce qu’est le calcul dans l’espoir peut-être un peu dissimulé encore à l’époque de bah si on a toute une théorie qui marche avec les nombres est- on pourrait pas

Laransposer directement avec d’autres choses et donc c’est à ce moment qu’apparaissent des nouvelles définitions je vous en donne une qui va être importante dans la suite de l’exposé voilà une définition donc un anneau c’est un un mot en mathématique c’est un ensemble donc un ensemble ça

Veut juste dire qu’on met des des objets tout on les regroupe quoi en particulier j’assis c’est pas forcément des nombres sur lesquels on sait faire des additions des soustractions et des multiplications donc vraiment les trois opérations élément faire du calcul et donc on va vouloir étudier ces ados pour pour

Eux-mêmes sans sans se préoccuper de savoir ce qu’on additionne ce qu’on soustrait et ce qu’on multiplie donc je vous donne des exemples on va en voir d’autres dans la suite mais juste pour avoir une idée bon bien sûr les premiers exemples c’est les nombres bien que je vous ai dit que

C’était pas l’objet qu’on avait forcément envie de considérer le plus pour mais c’est quand même un exemple important donc il y a les nombres alors les nombres vous pouvez les décliner sur pleine è les nombres entiers les nombres rationnels les nombres réels vous avez plein plein de façons de considérer les nombres

Euh j’ai mis aussi les congruences alors si vous en avez entendu parler ben vous savez qu’on sait faire des opérations aussi sur les congruences addition soustraction multiplication et donc ça rendre dans le cadre de ces anneaux mais un autre objet sur lequel qu’ sait aussi additionner soustraire et multiplier par exemple c’est les

Fonctions qui sont pas des nombres donc vous avez des fonctions comme je le dis vous pouvez additionner sstra multiplier des fonctions et et là encore vous pouvez le décliner sous pleine manière vous pouvez prendre que les fonctions continues les fonctions dérivables ou plein d’autres propriétés que vous nous

Connaissez sur les fonctions en général ben on continue à savoir additionner soustraire et multiplier et donc tout ça c’est des anneaux et on a envie de pouvoir avoir des résultats qui englobe tous ces cas une se en une seule fois donc c’est un peu la la la promesse disons de l’algèbre et

C’est un peu ce c’est exactement ce que eminter va réal durant sa carrière alors pour être un peu plus précis quelles sont les contributions principales de deinoire je les découpe en en trois peut-être périodes ce qu’on fait traditionnellement donc la première période c’est essentiellement la période où elle est àlangen juste après sa

Thèse pas tout à fait mais presque donc disons de 1908 à 1919 elle étudie ce qu’on appelle la théorie des invariants je vais pas vous expliquer trop ce que c’est la théorie des invariants c’est pas ent l’objet du sujet mais sachez que c’est un truc d’algèbre qui est très en vogue à

L’époque et euh et et c’est vraiment à ce moment que s’opère pour noare la transformation où on passe de l’art de faire du calcul à la réflexion sur le calcul à à mon sens la thèse de notire est très très calculatoire vous avez des tonnes de

Calculs sur des pages et des pages et des pages et donc c’est vraiment l’art de faire du calcul si on veut et c’est la vision qu’avaient les mathématiciens enfin son en particulier son directeur de thèse Paul cor et peu à peu même relativement vite en fait en lisant les

Les notamment au côté de her Fisher se rend compte que il y a un autre point de vue qu’on peut adopter pour éviter justement ces calculs et avoir quelque chose de plus conceptuel plus abstrait et infine elle va arriver elle va adopter ce nouveau point de vue

Et elle va arriver à avoir des théorèmes plus généraux plus dans le style de l’algèbre sur euh et mais qui pourtant vont avoir des applications c’est ça qui est relativement exceptionnel disons c’est que certes on se pose des questions générales sur les additions les multiplications et les soustractions euh

Mais on arrive quand même à avoir des applications et c’est pas des applications anodines là par exemple la théorie de la des invariantes permet de comprendre des développements de la relativité par exemple et c’est peut-être encore plus vrai avec la physique théorique moderne euh qu’avec la relativité mais bon je l’ai pas

Mentionné parce que évidemment ça existait pas à l’époque donc on peut pas dire que ce soit une motivation de notaire la deuxième période c’est le moment où elle va vraiment étudier la théorie des anneaux donc les anneaux qu’on a ce qu’on a vu donc j’ai mis 1920

1926 et là encore c’est pas juste pour le plaisir qu’elle va étudier la théorie des anneau mais elle va arriver avec des applications et les applications je vais un peu plus détailler ce point dans la suite de mon exposé ça va des applications à l’arithmétique à la géométrie

Algébrique grand grand domain don que j’ai déjà évoqué tout à l’heure qui sont les vraiment les grands domaines qui sont en bouleversement mathématique et qui intéressent les gens la 3è période de 1927 jusqu’à jusqu’à sa mort donc en 1935 est consacré à ce qu’on appelle l’algèbre non commutative alors

Là aussi je vais pas trop vous en dire plus sur ce que c’est mais c’est encore de l’algèbre vous voyez c’est dans le titre et là encore par ses développements elle va arriver à avoir des applications alors c’est des applications qui sont plutôt arrivées après à postériori mais n’empêche c’est

Des applications à la géométrie algébrique très très très présente aujourd’hui et à la physique aussi notamment la mécanique quantique qui est une grande utilisatrice de d’algebre d’opérateur euh donc de choses qui sont pas commutatif donc là c’est les trois grandes périodes je pense de la carrière de notaire au point de vue mathématique

À côté de cela je voulais mentionner aussi que neu était quelqu’un de très généreux dans le partage de ses idées elle a eu beaucoup d’étudiants et d’étudiantes avec qui elle a donc partagé beaucoup d’idées elle les a donné beaucoup d’idées et donc je voulais citer le cas de d’une étudiante

Qu’elle a eu gr Herman qui a soutenu sa t je pense en 1925 ou enfin en tout cas qui a travaillé avec elle en 1925 et donc le sujet de sa thèse qui était vraiment les idées de notaire a conduit à ce qui s’appelle aujourd’hui les bases

De gromur Al j’imagine que vous avez pas entendu parler de base de gromnerur enfin peut-être que si mais pas forcément il faut il faut le comprendre comme un moyen de de faire des calculs explicites donc cette de faire du calcul euh dans la dans le cadre de la théorie des anneaux mais sur

Ordinateur donc c’est un peu je sais pas cétait exceptionnel mais enfin à cette époque évidemment les ordinateurs existaient pas ou pratiquement pas mais se posait quand même la question de savoir comment automatiser ces calculs et ça a donné la thèse de Gret Herman qui a eu après énormément de de de

D’écho dans la dans dans dans dans la suite donc ça a été repris en particulier donc par grumner que vous voyez par bberger qui ont vraiment développé ce truc-à qui sont venus à à à en créer des vrais algorithmes qu’on peut implémenter sur un ordinateur par exemple dans mon ordinateur il j’ai plusieurs

Implémentations des bases de gromur et qui aujourd’hui servent vraiment à la géométrie algébrique à l’informatique et qui ont aussi plein d’applications alors que du temps de notire était pas présente évidemment mais à la robotique à la cryptographie et cetera c’est vraiment un outil qui est devenu fondamental aujourd’hui

En dans plein domaine et les préises sont vraiment du aux idées de notaire quelle a été la la reconnaissance des travaux de notire de son vivant euh elle a été plutôt bonne bien que en fait les les les gens disons de la vieille génération ne comprenai pas toujours l’intérêt de

Travailler dans un contexte abstrait si général pour eux les enfin pour certains les les les véritables problèmes concrets d’arithmétique de géométrie algébrique et cetera était plus important que développer l’algèbre générale alors malgré cela notaire a eu un écho très très important auprès des jeunes mathématiciens de

L’époque je vous ai mis une photo de famille donc vous avez vous avez notaire à gauche vous l’avez reconnu et là vous avez plein de de de mathématiciens qui sont plus jeunes que notaire qui ont été parfois des étudiants de notaire parfois non mais avec qui elle a énormément

Collaboré énormément échangé avec qui elle a partagé de façon très généreuse toutes ses idées son point de vue sur l’algèbre qui sont devenus des grands mathématiciens donc il’ y a des gens dans la salle qui sont des algébristes ou qui ont fait des études d’algèbre vous reconnaîtrez sans doute vite deing

Obson qui sont des grands noms de lagèbre as brawerer qui ont tous été donc à un moment influencés par l’œuvre de Neire et qui par ailleurs ont réussi à à à à partager leur leur enthousiasme avec toute la communauté mathématique je pense notamment à vaner Verden là que

Vous voyez en haut en haut à droite sur l’image qui a écrit un livre qui s’appelle enfin qui s’appelait à l’origine moderne algebra mais qui finalement s’appelle algebra maintenant donc algèbre dans lesqueles il partage euh le point de vue de notaire et il arrive à à expliquer euh à expliquer ses

Idées à montrer la puissance des idées de notaire et en particulier et qui a été un un succès auprès de de la communauté mathématique qui a beaucoup euh euh contribué à la diffusion des des de ce nouveau point de vue sur la sur à la fin de sa vie c’est un peu

Disons la consacration entre entre guillemets euh en 1932 euh notaire est est invité au Congrès international des mathématicien alors je pense que ça s’appelle toujours pas le Congrès international des mathématiciens et mathématiciennes mais donc une mathématicienne invité au Congrès international des mathématiciens donc c’est une rencontre régulière qui

Est vraiment l’endroit où tous les les les meilleurs mathématiciens et mathématiciennes du monde se réunissent périodiquement pour présenter leurs travaux euh et donc elle a été invitée à cet à ce congrès en 1932 pour faire ce qu’on appelle un explosé plinier c’est-à-dire devant toute la salle et la

Même année elle reçoit le Prix Akerman tner donc conjointement avec mil Artin un autre mathématicien célèbre donc elle reçoit elle reçoit elle reçoit ce prix qui est un prix très très prestigieux donc le prix le plus prestigieux qui existe en mathématique aujourd’hui c’est couramment ce qu’on appelle la médaille

Phil peut-être le prix abelle fait concurrent je ne sais pas trop mais enfin qui est souvent comparé au des mathématiques il faut savoir que le medfis existait pas à cette époque en 1932 il a été créé seulement en 1936 et en 1932 le prix Alf Alfred akarmman tomner était vraiment parmi l’un des

Plus prestigieux et donc c’est vraiment une reconnaissance importante de son travail euh sa récompense en fait ses travaux sur l’algère non commmutative donc voilà donc c’est c’était la première partie de mon exposé j’ai essayé de vous présenter un peu ce qui était la vie et l’œuvre de notaire

Euh c’est peut-être le moment de faire une petite pause si vous avez des questions et après on pourra attaquer on pourra rentrer un peu plus dans le vif du sujet je vais essayer de vous expliquer un peu de vous faire sentir messieur dam bonsoir J’ai le micro excusez-moi est-ce que vous allez

Parler des ponts s’ils existent entre le calcul des variations et les idéaux et les problèmes algébriques intéress al je non dans la suite de je vais me concentrer donc sur la deuxème partie la théorie des anneaux pour les anneau neutériens il a fallu que je fasse des choix et je vais pas

Plus évoquer cet aspect dans la suite d’accord donc les anneaux neutériens c’est en relation avec les le calcul des variations est-ce qu’ a des relations ça ça peut l’être mais je pense que dans l’esprit de N c’était vraiment deux périodes un peu différentes d’accord et et donc là je vais plutôt présenter un

Lien avec les problèmes de factorisation qui est vraiment celle qui a amené à l’introduction de cette cette notion ne soyez pas timide euh j’ai une question qu’est-ce que vous pense à l’évolution des mathématiqu dans le futur je sais j répondrai peut-être plutôt à la fin je pense ce sera plus là donc on

Encore en 1900 et puis à la fin j’esserai n’hésitez pas à me reposer la question au dernier moment je pense que ce sera j’aurai plus de matériel pour m’appuyer dessus euh bonsoir est-ce que c’est le est-ce que ce sont les idées en physique qui ont dicté son goût pour pour la

Généralisation et pour les choses qu’elle va découvrir qui auront une importance cruciale en physique par la suite dans quelle mesure est-ce que c’est enfin quelle est la frontière entre physique et mathématique chez les scientifiques à cette époque là alors chez les scientifiques en général je sais pas

Très bien si je répondre à cette question mais pour notur je pense que son goût était déjà prononcé pour les mathématiques elle elle elle s’intéresse à donc son son approche est vraiment on partle de la théorie des invariants et à à à ce moment justement c’est surtout la

Relativité où on où on comprend que étudier les propriétés d’invariance les repères les transformations euh euh les les les les transformations qui laissent stable qui laissent invariante les lois de la physique et cetera sont vraiment quelque chose d’important et donc il se trouve que euh alors si j’ai bien si

J’ai bien compris l’histoire euh c’est euh c’était un peu dans l’heure du temps que euh bah ce serait bien notamment Hilbert d’avoir un théorème qui permettrait de comprendre de d’avoir un vraiment un théorème mathématique qui donne une assise à ce que faisaient les physiciens et c’est ce à à et et c’est

Ce à quoi va s’atteler not terre et elle va obtenir un résultat qui va donc oui le lien entre mathématique et physique était était prignant était les les les gens de mathématiques s’intéressaient à la physique et réciproquement évidemment euh pour ce qui concerne notire je pense que elle sa passion était vraiment dès

Le départ pour les Maé pour les mathématiques et elle s’est intéressa à cette question plutôt par le biais de ce qu’ des travaux qu’elle avait déjà fait sur la théorie des invariants qui eux semblaient plutôt déconnecter des applications physique euh bonsoir bonsoir euh je voulais juste savoir j’avais cru

Comprendre que éinoire elle avait aussi eu un grand rôle dans le développement de la théorie des représentation ah oui tout à fait et je voulais savoir c’était plutôt quel concept c’est plutôt géométrie non non ce que j’ai appelé algeèbre non commutative donc ouais donc effectivement ça ça rentre plutôt dans

Ce que j’ai appelé l’algè noncutative qui inclut pas mal de choses il y a il y a donc ce qu’on appelle les matrices qui eux sont très liés aux représentations qui sont des objets qui ne commutent pas quand vous multipliez deux matrices dans un sens ou dans l’autre c’est pas la

Même chose c’est pour ça que ça s’appelle non commutatif et donc ne va réconcilier entre guillemets c’est pas qu’il étaent fâché avant mais va trouver un cadre commun à la théorie des matrices la théorie des représentations et un autre une autre construction qui semblait assez indépendante qui était la

Théorie qu’on appelle aujourd’hui des quaternion ou des nombres hyper complexes et donc elle va trouver un cadre qui unifie tout ça et donc comme je le disais c’est vraiment elle cherche toujours la grande unification pour retrouver des des points entre les domaines mathématiques donc ça rentre plutôt dans

Cette partie g non commutative pour lesquel été représ récompensé là par le prix àman toyber vous pouvez reprendre ok donc je continue donc maintenant je vais j’attaque la partie 2 on va un peu un peu plus s’intéresser donc au au au aux mathématiques un peu plus précisément de notaire et donc comme je

Le disais il a fallu que je fasse un choix je pouvais pas présenter son œuvre dans son intégralité et donc j’ai décidé de me concentrer sur un de ces travails dans lesquels un de ces travaux principaux dans lesquels elle introduit les anneaux neutérien donc évidemment c’est pas elle qui donne

Ce nom hein ils ont été appelés de cette manière après par le mathématicien français chevaler et comme je vais essayer de l’expliquer c’est des anneaux qui ont vraiment une propriété des anneaux qui a vraiment une importance cruciale qui a eu une importance cruciale dans tout le 20e siècle donc

Ces anneaux notériens sont sont apparus lorsque notire s’intéress au problème de factorisation et donc je vais essayer de vous raconter cette histoire donc vous avez ici une une phrase qui est tirée de l’introduction de l’article dans lesquel elle traite ce truc-à donc c’est écrit en allemand donc

Comme je ne parle pas allemand je l’ai traduit donc le but de ce travail est d’étendre les théorèmes de factorisation des antiers algébriques ou plus précisément des idéaux d’entiers algébriques des corords de nombres aux idéaux des anneaux intègres voir même des anneaux généraux dans ce qui suit nous supposerons donner uniquement un

Anneau général vérifiant la condition de finitude stipulant que chaque idéal possède une base finie donc bon c’est assez technique comme vous voyez euh mais on voit c’estez bien la démarche qui est la démarche qu’elle va reproduire dans pratiquement tous ses travaux elle veut avoir un théorème donc

Là en l’occurrence c’est le théorème des de factorisation des antialgébriques je vous expliquerai par la suite ce que c’est elle veut étendre ce théorème dans le contexte général des anneaux pour qu’il s’applique non plus seulement aux antialgébrique mais vraiment à tous les anneaux donc les fonctions et tout

Ça et donc dans tout ce qui puis on supposera donner uniquement un anneau général alors sauf que on veut qu’il vérifie la condition de finitude blabbla et ça c’est vraiment ce qu’on appelle aujourd’hui les anneaux neutériens donc dans la suite j’ai essayé de vous expliquer ce que c’est que ce théorème de

Factorisation comment elle a comment elle a réussi à à à étendre cela à tous les anneaux et et qu’est-ce que c’est que cette condition qui apparaît un peu naturellement dans ce cadre donc le premier ingrédient com vous vous en doutez enfin que vous en doutez com comme on vient de le voir

C’est l’arithmétique et ces fameus anti algébrique donc je vais essayer de vous expliquer ce que c’est brivement donc là les les les les personnes qui ont vraiment vré au développement de cette théorie c’est préire donc c’est Richard dekin et ern schomer qu’on a déjà vu enfin bon a y a

Toute une école il y a pas que ces deux ces deux personnes mais enfin c’est vraiment les deux grandes les deux grandes figures qu’on retient souvent bon donc je commence peut-être par des trucs un peu simple sur la factorisation enfin que vous devez connaître je pense c’est la factorisation des entiers donc qu’est-ce

Que c’est qu’est-ce qu’on entend par factorisation des entiers donc pour ça il faut que je définisse la notion de nombre premier donc le nombre premier je le définis de la manière suivante c’est un nombre qui est pas le résultat d’une multiplication de nombrees plus petits que lui d’accord donc par exemple 4 ben

C’est pas premier parce que c’est 2 x 2 donc vous pouvez l’écrire comme un une multiplication de nombres plus petits 5 par contre c’estes premiers vous pouvez pas écrire 5 comme une multiplication de nombres plus petit la Seu façon d’écrire 5 c’est 5 x 1 si vous voulez ou une x 5

Si c’est premier et si n’est pas premier pardon c’est 2 x 3 7 les 8 ne l’est pas c’est 4 x 2 9 ne l’est pas non plus c’est 3 x 3 et ainsi de suite 10 ne l’est pas c’est 2 x 5 et vous avez un théorème très célèbre qu’on appelle

Parfois le théorème fondamental de l’arithmétique euh qui dit que enfin théorème ancestral qui dit que tout entier s’écrit de manière unique comme produit de nombre premier donc faisons exemple juste pour remettre les choses en place donc partons par exemple de 2024 donc 2024 manifestement vous voyez

Il est pas premier il s’écrit 2 fois quelque chose puisquil est perd et donc ben c’est ce qu’on fait on l’écrit 2 x 1012 et puis on regarde si tous les facteurs qu’on a obtenu sont premier ou si on peut continuer encore ce procéder donc là ben 102 il est à nouveau pas

Premier il s’écrit encore deux fois quelque chose donc on continue donc ça fait 2 x 2 x 506 506 il s’écrit encore 2 x 253 et on continue avec ainsi de suite jusqu’à ce qu’on puisse ce que ce que ça s’arrête ce qu’on puisse plus décomposer

Les nombres donc là il se trouve que 253 c’est aussi 11 x 23 donc on obtient 2 x 2 x 2 x 11 x 23 et maintenant bah tout on a plus que des nombres premiers qu’on peut plus décomposer davantage donc c’est ça la décomposition en facteur premier de

2024 vous auriez pu peut-être remarquer dès le départ que 2024 c’est aussi 22 x 92 euh et dans ce caslà vous aurez pu continuer le processus à partir de 22 x 92 donc vous écrivez que 22 c’est 2 x 11 92 c’est 4 x 23 et vous regardez quel

Facteur peut encore décomposer donc là il y a plus que 4 qui est 2 x 2 et finalement vous obtenez cette décomposition qui est 2 x 11 x 2 x 2 x 23 et vous remarquez que c’est la même à l’ordre prê donc c’est ça le théorème de

Factorisation il y a déjà il y a une factorisation et en plus elle est unique à l’ordre près donc ça c’était des mathématiques qui étaient très anciennes et qui était connu depuis l’Antiquité et euh il y a eu voilà et donc et et donc dans la suite plutôt que d’écrire ces

Produits là je vais représenter ça sous forme visuelle de cette manière vous voyez vous avez 2024 en haut il y a deux branches qui partent et c’est les facteurs 22 x 92 22 c’est 2 x 11 et cetera ça permettra peut-être de voir un peu mieux les choses que d’écrire les

Produits une autre notion qui est importante et qui est aussi ancestrale c’est la notion de de PGCD donc vous avez peut-être déjà entendu parler donc PGCD ça veut dire plus grand commun diviseur et ça porte très bien son nom bah vous prenez les diviseurs communs et vous prenez le plus grand donc regardons

Ce qui se passe par exemple si on veut calculer le PGCD de 4 et de 6 alors pour ça vous faites la liste des diviseurs de 4 donc les diviseur je rappelle c’est les nombres par lesquels si vous faites la division par ce nombre

Ça tombe juste donc 4 divis par 1 ben ça tombe juste ça fait 4 4/ 2 aussi ça fait ça fait 2 ça tombe juste 4/ par 3 ça tombe pas juste ça fait 1,3333 quelque chose comme ça et donc du coup 3 est pas

Un diviseur de 4 et voilà donc vous avez la liste des diviseurs de 4 qui sont 1 2 et 4 pareil vous faites la liste des diviseurs de 6 c’est 1 2 3 6ant vous regardez ceux qui sont en commun donc il y a que 1 et 2 n’est-ce pas et vous

Prenez le plus grand d’entre eux et c’est ci le PGCD d’accord le PGCD de 4 et de 6 c’est 2 alors un peu plus compliqué que vaut le PGCD de 2024 et de 256 alors bah vous pouvez faire pareil commencer par faire la liste de tous les diviseurs de 2024

La liste de tous les diviseurs de 256 et essayer de trouver le plus grand alors c’est peut-être un peu laborieux heureusement il y a des méthodes plus efficaces je vous en présente une autre qui est basée sur la décomposition en facteur premier pas encore la meilleure mais qui est déjà mieux donc vous

Écrivez 2024 comme produit de facteur premier comme on l’a vu tout à l’heure donc 2 x 2 x 2 x 11 x 23 vous faites pareil pour 256 c’est 2 x 2 x 7 x 7 x 11 n’est-ce pas et vous prenez les nombres qui sont les facteurs

Qui sont communs donc là vous avez le 1ier 2 qui est commun le 2è 2 qui est commun et 11 vous prenez pas le 3è 2 parce qu’il y en a pas de trè en bas qui correspond d’accord et maintenant pour fabriquer le PGCD et bien vous faites seulement le

Produit des facteurs qui sont communs donc vous avez 2 x 2 x 11 ça fait 44 et donc ça va être 44 le PGCD de 2024 et de 2156 ça c’est quand on suit la définition en fait il y a un autre point de vue un peu du si vous voulez sur les

PGCD qui est donné par le théorème de bzou qui va être important pour la suite de l’exposé donc le théorème de bzou il vous dit que le PGCD de deux nombres A et B c’est le plus petit nombre strictement positif qui s’écrit sous la

Forme a x u + B x V avec U et V des entiers relatifs alors si vous avez jamais vu je vais plutôt vous donner des exemples qui essayer de décortiquer ce théorème donc reprenons les mêmes donc les exemples si je prends 4 et 6 vous voyez ben je peux trouver une

Combinaison adéquate de 4 de 6 donc en l’occurrence – 1 x 4 + 1 x 6 qui fait 2 d’accord et 2 c’est le PGCD et j’affirme qu’on peut pas faire plus petit que de c’est-à-dire on peut pas faire 1 euh pourquoi ben parce que si vous faites un

Multiple de 4 plus un multiple de 6 vous allez toujours obtenir un nombre pair ça pourra jamais être 1 du coup donc 2 c’est vraiment le plus petit qui s’écrit comme sous cette forme là un multiple de 4 plus un multiple de 6 de la même manière si vous regardez

Les multiples de de euh si vous regardez 44 qui est le PGCD de 2024 et 2156 vous pouvez l’écrire comme une combinaison comme ça 16 x 2024 – 15 x 2156 et de même que tout à l’heure euh vous pouvez pas faire les nombres entre 1 et 43 il peuvent jamais s’écrire comme

Ça mais parce que 2024 et 256 sont tous les deux des multiples de 44 et donc quand vous allez faire des combinaisons comme ça vous allez nécessairement aussi obtenir des multiples de 44 donc je disais que c’est donné une sorte de point de vue dual sur le PGCD

Le PGCD svisé c’est défini comme le plus grand commun diviseur et là il se trouve aussi que c’est le plus petit nombre qui s’écrit de cette manièrelà vous avez deux vision sur les PGCD euh qui sont complémentaires disons ok alors la théorie algébrique des nombres c’est déessidé de refaire tout

Ça dans un cadre un peu différent et donc je vais vous présenter sur l’exemple de l’anneau ce qu’on ce qu’on appelle Z de√15 donc √1 déjà c’est quoi bah c’est le nombre qui multiplié par lui-même fait 15 d’accord donc c’est un peu moins de 4 parce que 4 x 4 ça fait 16

Euh et en tout cas c’est pas un nombre entier on est bien d’accord hein c’est euh c’est il y a pas de nombre entier qui multiplié par lui-même fait 15 c’est un nombre à virgule avec une infinité de chiffres après la virgule qui sont euh

Très compliqué à priori il y a pas de logique clair euh et pourtant l’objectif c’est euh on a envie de faire de l’arithmétique avec les nombres de la forme A + B X √15 où A et B eux sont des entiers alors bon pourquoi on a envie de

Faire ça c’est pas forcément évident mais en fait c’est arrivé naturellement justement quand on travaillait sur l’équation de ferma enfin dans d’autres contextes aussi mais en particulier sur l’équation de ferma euh on s’est rendu compte que si on arrivait à faire de l’arithmétique avec des nombres un peu de cette forme

C’est-à-dire si on arrivait à avoir des théorèmes de factorisation par exemple avec des nombres de cette forme et bien on avait des outils puissants pour essayer d’attaquer ces équations de Fermain et c’est d’ailleurs ce qu’a fait ce qu’a fait Ker il a en étudiant l’arithmétique avec des nombres

Un peu de cette forme pas exactement r 15 mais d’ut d’autres valeurs il a réussi à résoudre le problème de ferma donc l’équation x puiss n + y^ N = 7 pu n obtenir des résultats significatifs sur cette équation alors essayons de faire un peu de la factorisation avec ces nombres

Donc prenons par exemple 14 et essayons de voir si on peut le factoriser alors 14 évidemment c’est 2 x 7 ça reste toujours égal à 2 x 7 donc ça donne une première factorisation de 14 mais il se trouve que dans ce cas-là si on autorise à mettre des√1 ben c’est

Aussi 1 + √15 x -1 + √15 d’accord c’est l’identité remarquable A + B X a – B et donc vous avez deux factorisations de 14 qui semble être des factorisations en facteur premier et qui pourtant n’ont rien à voir donc il semblerait c’est ce qu’ remarqué cour qu’il y a pas unicité

De la factorisation dans ce cas-là et l’unicité c’est vraiment quelque chose d’important si on veut faire marcher tous les théorèmes tous les théorèmes de l’arithmétique bon alors on pourrait conclure que ça marche pas mais là justement kumer deadkin et toutes leur écle ont une une enfin ça a été il a eu

Des prémers c’est notamment dû à eler ont une idée c’est que en fait il devrait y avoir une décomposition commune raffiné 14 devrait s’écrire comme un produit de tris ou de quatre nombres premiers de telle sorte que quand on les combine de par 2 d’une certaine manière on trouve 2 x 7 et

Quand on les combine 2 par 2 d’une autre manière on trouve la deuxème factorisation alors ça paraît tout à fait euh séduisant comme idée sauf que ben on peut chercher les diviseurs de 2 les diviseurs de 7 les diviseurs de 1+ RAC de 15 et cetera et on se rend compte

Qu’il y en a pas en fait on peut pas les casser davantage alors ça paraît un peu du coup un peu vousou à l’échec euh mais euh ben euh les gens vont plus loin et ils se disent que pourquoi il devrait y avoir une décomposition commune comment on

Devrait l’obtenir ben un de ces facteurs ça devrait être le PGCD de 2 et de 1 + √1 enfin ou ou n’importe lesquel dans n’importe quel ordre mais par exemple ces deux-là donc si vous avez le PGCD de ça ça devrait être un diviseur commun à

2 et à 1 +√1 et ça devrait être lui qui donne cette ce ce facteur commun n’est-ce pas alors il se trouve que si on essaie de faire la liste des diviseurs de 2 et de 1 + R 15 il y en a qu’un essentiellement c’est 1 et donc

Ben le on a envie de dire que le PGCD c’est 1 et c’est on est pas plus avancé qu’avant mais donc ce que ce que disent komer et dekin c’est que en fait ce PGCD devrait pas être égal à 1 il est il est peut-être égal à 1 si on

Y pense comme plus grand diviseur commun mais si on y pense via le théorème de besou on se rend compte qu’il devrait pas être égal à 1 pour la bonne et simple raison que si vous faites un multiple de 2 n’importe quel multiple de 2 plus n’importe quel multiple de 1 +√

15 ben vous pouvez jamais obtenir 1 et donc si l’idée c’est de penser à PGCD non pas comme plus grand commeun diviseur mais plutôt comme via le sa version duale par le théorème de bzou alors ok on a dit ça mais qu’est-ce qu’il faut faire concrètement alors donc

Ce que font ce ce qu’on fait c’est qu’on introduit un nouveau nombre faut que je vous dise un peu plus comment on fait ça appeler qu’on appelle qui est appelé nombre idéal par coomer et qui va jouer ce rôle de PGCD manquant alors not quand même pas PGCD

Ça c’est la notation moderne on écrit 2 et 1 +√1 entre entre crochet là comme ça alors bon quand on introduit un nouveau nombre on est toujours dans une situation un peu bizarre he si vous avez déjà vu les nombres complexes vous savez quand on introduit i on sait jamais

Quelle est la quelle est sa signification exacte et donc on peut pas juste dire on introduit un nouveau nombre il faut vraiment donner une assise rigoureuse à à à ça et c’est ce que va faire deadkin kumer dans un premier temps et deadkin dans le cas

Général et donc ce nouveau nombre il va lui donner vraiment une définition mathématique et il va le définir de cette manière donc ce nouveau nombre 2 1 +√1 il va le définir non pas comme un seul nombre parce que ça on a vu que ça marchait pas mais comme l’ensemble de

Tous les nombres de la forme 2U + 1 + √15 x V donc d’après le théorème de Bezou ce PGCD là s’il existait ça devrait être le plus petit là le problème c’est qu’il y en a pas de plus petit et ben on prend pas juste le plus

Petit du coup on les prend tous c’est globalement l’idée et donc ces nouveaux nombres que il faut vraiment penser comme des nouveaux nombres mais formellement c’est défini comme des collections de nombres et ben ce que font ce que fait toute cette école c’est de montrer qu’avec ces ces nombres de de ce nouveau

Type disons on arrive à fabriquer on arrive à avoir une multiplication on arrive à refaire toutes les opérations de l’arithmétique et on arrive surtout à avoir un théorème de factorisation dans laquelle la factorisation est maintenant unique donc finalement ce qui va se passer à la fin dans cette histoire c’est que 14 va

S’écrire comme un produit de quatre facteurs mais qui sont des nombres idéaux et plus des nombres classiques enfin classiques même de la forme avec A + b√ 15 donc 14 va se décomposer comme un produit de 4atre facteurs et c’est exactement ce que je disais au début selon comment vous regroupez les

Facteurs vous allez obtenir soit 2 x 7 soit 1 +√15 x -1 +√15 d’accord donc ça c’est la décomposition 4 je vous fais pour pour le plaisir celle de 2024 et donc en même temps je vous montre comment on fait pour l’obtenir ben faites pareil qu’avant 2024 c’est

Toujours 22 x 92 et vous continuez 92 c’est 23 x 4 et cetera 22 vous avez vous pouvez comme avant l’écrire 2 x 11 évidemment mais là il y a d’autres factorisations possibles de 22 et par exemple 22 c’est aussi le produit de ces deux nombres idéaux donc ça je peux pas

Les écrire comme des a + b√1 c’est vraiment des nouveaux nombres mais il se trouve que 22 c’est quand même le produit de ces deux nombres là et puis chacun de ces deux nombres là se redécompose encore comme des nombres idéaux ou pas idéaux d’ailleurs et donc à la fin vous trouvez

Que 2024 ben c’est le produit de 2 -√15 2 +√15 et 23 qui eux sont des des vrais des vrais des vrais nombres entre guillemets et aussi il y a ce nombre idéal 2 x 1 + √1 qui apparaît 6 fois et si vous autorisez ça ben vous

Avez tous les théorèmes vous avez l’existence l’unicité et vous pouvez dérouler toute la machine euh pour éventuellement obtenir à terme de nouveaux cas du théorème de Fermain donc ça céit le premier ingrédient l’arithmétique si vous avez des questions encore sur cette partie ouais alors j’avais juste une question par

Rapport à ce que vous avez dit pourquoi avoir choisi racine de 15 et pas n’importe quoi ah on peut faire avec d’autres l’avantage de racine de 15 c’est c’était un peu plus facile à illustrer ah oui ok donc ça pouitre mais ça marcherait avec racine carré de de

N’importe quel nombre et même avec des racines cubiques ou de fanière général des des des nombres qui sont solution d’équation encore plus compliqué d’accord c’est pas un nombre comme non non non non le le le théorème donc de deadkin ça marche vraiment pour dans n’importe quel cadre avec n’importe quel

Nombre qu’on appelle algébrique c’est-à-dire solution d’une équation algébrique et donc c’est pour ça que s’appelle la théorie algébrique des nombres d’ailleurs d’accord oui euh allô oui on a l’impression que les nombres idéaux ça ressemble à des bases euh parce que on a des combinaisons linéaires et et ensuite le le 4 de votre

Exemple on a l’impression que les les nombres sont plongés aussi dans un autre dans un autre univers de nombr c’estàd le de la même manière que les réels sont plongés dans le c’est ex ouais c’est exactement ça donc on introduit des nouveaux nombres donc effectivement ça ressemble si vous

Voulez à des bases alors donc le le dans ce cas-là c’est ça pour ceux pour celles et ceux qui connaissent c’est ça ressemble vraiment à la théorie des espaces vectoriels alors là c’est pas des bases parce que vous avez des relations c’est plutôt des familles génératrices mais enfin bon peu importe

C’est vraiment dans ce cadre-là que ça se formule quand on veut vraiment avoir de des des formulations rigoureuses exactes et effectivement les nombres eux-mêmes on peut les voir comme des nombres idéaux en prenant juste l’ensemble des multiples de ce nombre donc de la même façon que quand on

Pongge je sais pas comme vous disiez les nombres réels dans les nombres complexes ben les nombres réels il c’est les nombres complexes qui s’écrivent a + 0 x i quand on Ponge les entiers dans les fractions c’est ceux qui s’écrivent a divis par 1 donc là pareil vous avez une

Manière de comprendre les nombres normaux comme les nombres idéaux c’est vraiment le même processus et sauf que ça fait des nombres en plus qui permettent de de de faire des opérations qu’on nait pas à faire avant c’est exactement la même analogie effectivement une question par ici j’ai vu

Ou je crois qu’il faut le micro c’est ouais moi pardon je l’égalité que vous montrez c’est pas vraiment entre le le nombre 4 et le l’idéal engendré par 2 et 1 +√1 c’est l’idéal donc là il y a un X 4 ça veut dire que celui-là il a paraî quatre fois

C’est parce que j’avais pas assez de place sur mon dessin non ce qui me troupe c’est le on fait des égalités entre des ensembles engendrés là par ouais et et et des nombres qui sont donc c’est ce que je disais si on veut voir le nombre 4 comme un nombre idéal il

Faut y penser comme l’ensemble de tous les multiples de 4 ok voilà mais je préfère voir les dans C pour cet exposé en tout cas je préfère voir les nombresidéos plutôt comme des nouveaux nombres qu’on ajoute et il pensz vraiment comme des comme des nombres excusez-moi ouais ouais

Là-bas vous disiez que donc l’ensemble 2U + 1 +√1 facteur de V ouis il y avait pas de nombre plus petit enfin j’imagine de minimum positif ouais qu’est-ce que donc alors bon déjà il y a bon la notion de plus petit est pas vraiment la même

Dans quand on a ces truc là c’est plutôt plus petit au sens de la divisibilité et donc effectivement donc c’est un ensemble où vous pouvez avoir des nombres il y a pas de plus petit pas penser par exemple pour bah si vous prenez l’ensemble des nombres strictement

Positifs il y a pas de nombre là pour le le truc normal ben il y a pas de nombre plus petit Vous P vous avez pas un plus petit nombre qui est strictement positif si vous prenez je pas 0,001 il a toujours plus petit 0,001 s en avait un plus petit ce serait

0 mais il est pas strictement positif donc là c’est un peu la même chose vous avez un ensemble de nombr et on aura envie de prendre plus petit mais il est pas là et donc là on l’ajoute c’est un peu le même procédé si vous vou qu’on avait l’ensemble des nombresement

Positif on doit ajouter zé pour pouvoir avoir ce plus petit ok merci je reprends ok donc j’arrive à mon deè ingrédient ok la géométrie algébrique donc la géométrie algébrique donc j’ai remis les photos de de Max et de David Hilbert qui sont personnes qui ont développement de la géométrie

Algébque à cette époque donc je vais essayer de vous expliquer rapidement ce que c’est donc en en en arithmétique les objets un peu fondamentaux c’est les entiers ici ça va être ce qu’on appelle les polynomes alors je pas con le terme de polynôme mais en tout cas vous avez

Certainement déjà vu c’est des expressions avec des X un peu comme ça d’accord x 3x + 2 par exemple c’est un polynomeme quand vous avez des X des puissan et pas de fonction plus compliqué c’est ce qu’on appelle un polyn donc géomée algébrique comme ça vous a pas échappé a géométrie et algbre

Donc ça évidemment vous avez compris que c’est la partie algébrique c’est la partie calcul et donc aussi une partie géométrique on a envie de dessiner en quelque sorte ces polynomes donc là comment on fait somes tout assez simple on trace la droite réelle et on va résoudre

L’équation x² – 3x + 2 = 0 et on va dessiner les solutions donc là je prends un exemple assez simple les solutions c’est juste 1 et 2 et euh si vous avez déjà résolu une équation euh de ce typel vous savez que bah trouver les solutions c’est très lié à la

Factorisation x² – 3x + 2 c’est en fait x – 1 x x – 2 et c’est pour ça que les solutions sont 1 et 2 quand vous écvez ça é=al 0 B c’est un des facteurs qui est forcément égal à 0 donc ça c’est un polynôme pour en avoir un autre par

Exemple vous avez le droit d’autoriser des X Cu ou des plus grand des plus grandes puissances de X X puiss 4 et cetera donc par exemple celui-ci de la même manière vous pouvez le dessiner en érivant les les en mettant des gros points sur les

Solutions de l’équation X3 – 3×2 – x + 3 = 0 là les solutions encore choisi un cas simple c’est -1 1 et 3 et c’est lié à au fait que ce polynôme se factorise sous la x + 1 x x – 1 x x – 3 d’accord voilà donc le la géométrie

Algébrique c’est le jeu entre cette écriture géométrique et la représentation sous forme pardon cette écriture algébrique et cette représentation sous forme géométrique alors quand on parle de PGCD comme ça doit plus vous étonner mais non pardon quand on parle de factorisation comme ça doit plus vous étonner mais non

On peut parler de PGCD là vous avez le PGCD de ces deux polynômes ben vous pouvez le trouver en regardant juste les facteurs qui sont communs dans les deux polynômes d’accord donc là en l’occurrence il y a que X -1 qui est commun et donc le PGCD de ces deux

Polynômes là du polynôme violet et du polynôme vert bah c’est x – 1 et géométriquement ça revient à quoi ben ça revient à regarder les points qui sont à la fois coloriés en violet et en vert ça revient à faire en géométrie ce qu’on appelle une intersection donc vous pouvez retenir ça

Euh quand vous faites une intersection comme je le dis ça revient à prendre en PGCD et quand vous faites une union c’est-à-dire quand vous avez le point X-1 et le point X- 2 et que vous les mettez ensemble ça revient à multiplier d’accord multiplication et PGCD c’est le côté algébrique union intersection c’est

Le côté géométrie donc on complique un petit peu on va prendre un polynôme avec des X et des y donc X- 2Y + 1 par exemple cel pare vous pouvezcr X- 2 + 1 = 0 et vous pouvez dessiner ça donc c’est une équation droite dans le plan cette

Fois-ci donc c’est plus juste un point ça devient un peu plus compliqué c’est une droite euh vous pouvez regarder plus généralement des polynômes avec des x²r des X Cu et cetera donc prenons par exemple celui-ci x² + y² – 1 là ça va plus vous dessiner une droite mais ça

Vous dessine un cercle d’accord c’est exactement le théorème de Pythagore qui vous dit que l’ensemble des solutions de cette équation c’est un cercle de centre 0 et de rayon 1 euh pour ce polynôme ça paraît déjà plus compliqué vous avez plein de de de de termes avec des X Cu et cetera c’est

Pas forcément clair de savoir ce que c’est que le dessin qui lui correspond mais en fait vous pouvez vous en sortir là on a évidemment cas favorable parce que ce polynôme il se factorise comme produit de deux polynômes plus petits donc c’est

Exactement x – 2Y + 1 x X2 + y2 – 1 et donc d’après ce que j’ai dit tout à l’heure ben c’est la réunion du Cercle et de la droite dire que ce Tru égal 0 ça veut juste ça veut dire que soit le premier facteur égal Z0 au quel cas vous

Êtes sur la droite soit le deuxème facteur égal zé au quel casù vous êtes sur le cercle produit c’est pareil qu’Union quitte de l’intersection maintenant si vous regardez l’intersection du cercle et de la droite c’est deux points y a deux points d’intersection comme ça et ces deux points d’après ce qu’on a dit

Précédemment devrait correspondre au PGCD mais alors si vous cherchez à trouver quels sont les diviseurs communs de ces deux polynômes ben vous vous rendz compte qu’il en a PASF part les constantes et les constantes c’est des polynômes 1 par exle qui s’annule nulle part ça définira jamais deux points dans

Le plan comme ça et donc à nouveau vous êtes obligé de travailler avec ces polynômes idéaux entre guillemets et donc ce que vous regardez c’est le polynôme idéal qui est donné par sorte de PGCD de X – 2Y + 1 et X2 + y2 – 1 et

Dans ce cas-là si vous autorisez à introduire ces polynôes idéaux la correspondance devient devient parfaite disons et ben ce polynome idéal correspond vraiment à ces deux points donc là si vous voulez vous avez une visualisation géométrique de ces idées de ces polynomes idéx en quelque sorte les polynômes normaux entre guillemets correspondent

Plutôt à des courbes alors que les polynomes idéaux vont plutôt correspondre à des points isolés et vient maintenant la question de la factorisation donc là j’ai pris un polynôme très compliqué avec plein de termes des X 6 y 7 et cet et pareil on peut se demander si on peut le

Factoriser et trouve que oui donc vous pouvez commencer parire ce polynome comme produit de tris polynômes et ensuite pour chacun le redécomposer et cetera et vous avez de la même manière un théorème de factorisation qui vous dit qu’au bout d’un moment ça va s’arrêter jusqu’à ce que vous obteniez

Des polynômes premiers on dit réductible en général pour les polyn mais c’est pareil et une fois que vous avez cette décomposition ça devient plus facile à dessiner ici ça ressemble à ça y X2 + y2 2 ça vous donne le cercle les autres ça vous donne les segments en bleu les

Droit j’ai tracé que les segments d’accord donc vous avez aussi un théorème de factorisation pour les polynômes et bah quitte des polynômes idéaux si maintenant je prends un polynôme idéal donc celui-ci qui correspond à l’intersection je vous rappelle ça correspond aux deux points en que vous voyez là les deux gros

Points en en en marron que vous voyez sur la figure euh si vous regardez l’interse juste ces deux points ça correspond au polynôme idéal X – 2 y + 1 et X2 + y2 – 1 mais vous voyez que c’est deux points et ces deux points ben ça s’écrit naturellement comme l’union du

Premier point et du deuxième point d’accord donc il devrait y avoir un polynôme idéal qui correspond à un des points un autre polynôme idéal qui correspond à l’autre point de telle sorte que ce polynôme idéal que vous voyez ici ce soit le produit des deux si

On si les choses sont sont comme elles le sont sont comme il faut et c’est exactement ce qui se passe ici euh ce polynôme idéal il va s’écrire comme le polynôme idéal euh x + 1 y et l’autre polynomeme idéal 5x – 3 x 5y + 3 vous

Avez un théorème de factorisation de ces polynôes idéaux qui correspond juste à vous avez un nombre fini de points dans le plan et vous en prenez un les uns après les autres dans cet exemple donc tout ça pour dire que quand on travaille avec des polynômes plutôt qu’avec des entiers la factorisation a

Une a une interprétation géométrique que qu’on peut vraiment voir ce théorème de factorisation ne vaut pas que pour ce polynomeme idéal-là mais pour tous les polynomes idéaux avec des X des y éventuellement d’autres variables Z T et cetera et c’est un théorème qui avait été qui a été démontré par Emmanuel

Lasqu donc qui fait office de de préambule au travail de notaire également d’accord voilà donc là j’ai introduit la factorisation dans les deux contextes qui préexistai avant ne et maintenantf dans la suite de l’exposé je vais essayer d’expliquer comment ne a réussi à mettre tout ça ensemble dans un seul théorème qui va

S’appliquer dans plein d’autres contexte également donc si vous avez encore des questions peut-être pas trop trop parce que le temps tourne mais je peux en prendre encore quelquesunes sur cette partie on continue on continue donc voilà donc je reviens au travail de notaire et je vais essayer de

Vous expliquer ce que sont les anneau notérien alors le théorème de notaire bon malheureusement je vais pas l’énoncer de façon de de façon précise parce que ça devient assez technique mais c’est illustré essentiellement par le fond que vous voyez ici ben c’est un théorème de factorisation dans un anneau pas

Quelconque puisil doit être notérien mais dans un anneau très général d’accord donc not va démontrer un théorème de factorisation qui va redonner les théorèmes de factorisation dont je vous ai parler donc avec ses ses nombres idéaux ses polynommes idéaux elle va le démontrer euh pour un anneau

Général donc elle va pas supposer qu’on travaille avec des entiers avec des r√ines 15 ou je ne sais quoi ou avec des polynomes justequon sait faire des additions des soustractions et des multiplications et juste en sachant ça elle va réussir à obtenir un théorème de factorisation d’accord donc c’est ça le

Théorème de de TER elle va elle va généraliser ce truccl-là dans ce cadre très général alors plutôt que de vous expliquer euh les les les les subtilités de l’énoncé de ce théorème je voulais passer le les quelques minutes ENF 10 minutes qui me restent 10 15 minutes qui

Me reste à vous expliquer plutôt ce que c’est que les anneau neien d’accord et alors pour ça revenons au à la factorisation classique donc voilà un exemple de factorisation classique c’était la factorisation de 2024 usuel dans les entiers et alors réfléchissons un petit peu de quoi on a besoin pour démontrer

Disons que cette factorisation existe donc vous partez de 2024 s’il est premier ben c’est fini s’il est pas premier vous le décomposez et puis ainsi de suite ainsi de suite ainsi de suite et donc ce vous avez besoin en fait c’est de montrer que au bout d’un moment

Ce procédé va s’arrêter vous allez tomber vraiment sur des nombres premiers enfin c’est une des choses Donto c’est c’est pas le forcément le la seule mais c’est quand même une des choses importantes don on a besoin alors ici c’est à peu près évident d’accord parce

Que enfin je sais pas très bien si ça vous paraît évident mais c’est pas très compliqué en tout cas parce que si vous partez de 2024 et ben les nombres que vous allez obtenir comme comme facteur les produits vont être plus petits vous allez avoir 22 après quand vous allez

Avoir 22 vous allez avoir 11 et cetera et au bout d’un moment bah forcément vous allez vous arrêter parce que vous avez une suite comme ça de nombre entier qui décroî et c’est pas possible d’avoir une suite de nombre entier qui décroit strictement d’accord c’est ce qu’on appelle parfois le principe de

Récurrence peut-être si vous aavez vu peut-être vous l’avez vu sur une forme un peu différente mais c’est vraiment ce qu’on appelle le principe de récurrence quand vous avez des nombre entier et que vous faites décroître ben au bout d’un moment ça s’arrête forcément donc c’est un des arguments

Pourant pour montrer l’existence de la décomposition en facteur premier donc ça c’est sur les entiers sur les polynômes ça paraît peut-être un peu plus délicat mais quand même ça marche à peu près le même argument là aussi il va y avoir quelque chose qui décroit à chaque étape et dans ce cas

C’est le degré vous pouvez regarder par exemple je sais pas la plus grande puissance qui apparaît sur le polynôme en haut c’est 7 après ça devient 3 et cetera et ça décroî à chaque fois et donc au bout d’un moment bah ça ça ça forcément ça doit s’arrêter vous pouvez

Pas avoir comme ça une suite de de de de choses qui décroissent à l’infini alors quand vous avez des nombres algébriques avec des 1 +√1 ou des Rac1 de façon générale c’est un peu plus compliqué de savoir ce qui décroit mais ça a été tout le travail de de de

Comer et de Dead kill de pour justement de définir une quantité qui va décroître à chaque moment à chaque fois qu’on fait une factorisation de sorte que de montrer qu’à la fin ça s’arrête vraiment donc dans ce cas-là c’est ce qu’on appelle la norme du nombre idéal c’est

Un nombre un vrai nombre en entier qui va décroître à chaque fois et qui va vous garantir qu’au bout d’un moment le processus s’arrête donc à chaque fois vous voyez dans toutes ces dans toutes ces C théorème de factorisation vous avez ce truc là qui vous permet de dire

Qu’au bout d’un moment la factorisation va va s’arrêter vous allez pas pouvoir continuer à l’infini et donc il faut trouver quelque chose qui remplace cet argument pour un anneau général si vous avez un anneau général donc je rappelle un anneau général vous savez pas du tout ce que c’est les

Éléments vous savez pas si c’est des nombres des polynômes des je sais pas moi des des des des éléphants des tortues ça peut être n’importe quoi donc ben là je le représente juste par un gros point d’accord ça c’est un élément de mon anneau général je sais pas ce que

C’est je peux pas écrire 1 2 ou autre chose ou x j’en sais rien je sais pas du tout ce que c’est et donc essayons de faire le même truc donc on va commencer par lui essayer de le factoriser alors là histoire de que mon dessin prenne pas

Trop de place j’ai écris juste une branche juste un un des facteurs et pas tous mais admettons qu’on arrive à trouver comme ça un diviseur un premier diviseur et puis ce diviseur on va trouver un 2è diviseur puis un 3e diviseur puis un 4è diviseur et cetera

Si on arrive à faire ça à l’infini bah évidemment on Nura jamais de théorême de factorisation parce que ça va continuer toujours on va jamais tomber sur un nombre enfin un nombre idéal un idéal je sais pas comment il faut dire premier ENF je sais comment il faut dire il faut dire un

Idéal euh et donc il faut interdire ce genre de chose si on veut avoir un théorème de factorisation et c’est exactement la condition que met en évidence noteur c’est ça être en anneau notérien ça veut vraiment dire satisfaire cette condition là qu’il n’existe pas de suite infinie d’éléments

Idéaux donc comme ça de telle façon à ce que chacun divise le précédent d’accord si vous avez euh si vous avez pas de suite infini comme ça de de branche infinie disons dans votre arbre je sais pas comment il faut dire et bien vous êtes vous satisfaisez la

Condition de Neire alors que maintenant on appelle condition de notterianité et que Neire dans son article elle appelé condition de chaîne vous voyez pourquoi ça s’appelle une chaîne et donc l’exploit que réalise le en quelque sorte c’est de démontrer que bah cette condition en fait elle est suffisante pour avoir un théorème de

Factorisation là je vous ai fait sentir qu’elle était nécessaire si vous avez pas ça vous avez aucune chance que ça marche mais en fait le fait est que dès qu’on a cette condition qui est satisfaite et bien euh vous vous avez un théorème de factorisation alors mieux encore enfin

Je sais pas si c’est mieux ou moins bien mais notaire donne une reformulation de cette condition qui est peut-être un peu moins parlante mais qui est un peu plus pratique en fait elle dit que c’est pareil que de vérifier que cette condition est équivalente à celle que

J’ai écrite en vert ici qui dit que si vous prenez le le le PGCD au sens des idéos d’une famille infinie d’éléments de votre anneau hein peu importe que ce soit des entiers ou n’importe quoi et bien ça se réduit toujours à une un PGCD d’une famille finie alors bon je sais

Pas si ça vous parle mais c’est important d’avoir cette reformulation parce que B à l’époque on savait démontrer que bah il y a plein d’anneaux qui vérifient cette condition particulier les anneaux de polynô Hilbert avait démontré qu’il vérifiait cette il vérifier ça dans son travail sur en particulier sur la théorie des

Invariants et donc le théorème de notire il est vraiment il englobe vraiment le théorème de la SCER qu’on a vu tout à l’heure sur la factorisation des des idéos dans les anaus de polynome et il englobe aussi le théorème de factorisation de deadkin sur les entiers mais en fait il est beaucoup

Plus général que ça parce que il y a beaucoup d’anneau neutériens c’est ça le dernier message que je voudrais vous faire passer c’est que là on a parlé beaucoup d’entier et de polynô mais c’est pas du tout les seuls anneau notériens il y en a vraiment plein plein

Plein donc les anneau de nombre on a déjà vu donc je vais peut-être faire un récapitulatif et peut-être en mettre des nouveaux en même temps donc par exemple les entiers bah c’est un anneau notérien du coup là vous retrouvez le théorème de factorisation dans les entiers est-ce

Qu’on avait besoin de faire tout ça pour ça certainement pas mais c’est quand même un bon c’est quand même bien de savoir qu’on retrouve le théorème de factorisation classique Z DEAC 15 comme on a vu c’est aussi un anneau neutérien et donc vous allez retrouver par ce

Théorème général le théorème de dekin et de il y en a d’autres que les gens avaient pas forcément vu avant par exemple les congruen qui donne lieu à un autre anneau aussi un anneau notérien et donc de cette manière vous avez un théorème de factorisation pour les congruences qui pas forcément celui le

Cas le plus intéressant mais qui existe quand même vous avez d’autrestiers alors on a dit dans l’introduction que j’étais un fanatique de nom padique je ne résiste pas au plaisir de les citer donc lesti PADI que vous sachez ce que c’est ou pas ça fait aussi un anneen donc vous avez

Aussi un théorème de factorisation dans ce contexte les anaus de fonction je vous avais dit que c’était un autre exemple d’anau donc vous avez ben les polynômes qu’on a vu largement qui sont des anneaux neériens et donc là comme je disais vous retrouvez le théorème de laqu c’estnotation pour les anneaux de

Polynome mais vous avez aussi d’autres anneaux de fonction par exemple je sais pas si vous connaissez mais les séries qui sont des sortes de polynômes infinis et bien il vérifie aussi cette condition enfin dans certains cas ça dépend les conditions qu’on met sur les séries mais dans pas mal de cas vérifier

Aussi cette condition euh de d’être de neérianité et donc ben gratuitement avec le théorème de Neire vous récupérez un théorème de factorisation pour les séries euh vous pouvez aussi adjoindre des fonctions algébriques comme √x quand vous éccrivez des expression X Y et √x

Par exemple ou aussi √ y ou √3x + 2Y ou n’importe quoi vous euh vous vous obtenez encore des des anneaux neutériens et donc vous avez à nouveau un théorème de factorisation dans ce cadre-l qui était pas connu avant vous pouvez faire encore des choses plus compliquées vous pouvez

Prendre ce que j’ai écrit des fonctions sur un espace géométrique donc là par exemple je vous ai dessiné un truc qui ressemble à un espace géométrique je sais pas trop ce que c’est une sorte de papillon euh d’oiseau je sais pas et donc si vous prenez les fonctions

Qui sont définies juste sur cette courbe et pas les fonctions qui sont définies sur tout le plan comme c’était le cas pour les polynômes par exemple et bien en généralon ça dépend un peu de la géométrie évidemment mais en général ça va aussi vous donner un un un anneau

Nerien et donc vous avez aussi un théorème de factorisation pour ça et ça ça a des conséquences qui sont des conséquence pour la géométrie étudier la factorisation ou plus généralement étudier l’anneau des fonctions sur cet espace géométrique ça peut vous renseigner sur la géométrie un cas très typique là vous

Voyez sur mon sur mon dessin il y a un point qui a l’air très particulier là le l’endroit où c’est pointu ce qu’on appelle une singularité et donc si vous prenez non pas les fonctions qui sont définies partout mais juste les fonctions qui sont définies euh sur un petit voisinage

De cette singularité par exemple dans le cercle que j’ai tracé enfin sur la courbe et dans le cercle et bien vous allez avoir des renseignements sur la singularité et étudier la factorisation ou d’autres propriétés de cet anneau euh qui est neutrien donc euh ça va vous donner des renseignements euh sur bah ce

Point particulier sur cette singularité aujourd’hui c’est un c’est une méthode vraiment très efficace qui a prouvé son efficacité tout au long du 20e siècle euh pour étudier les singularités des points bizarres comme ça sur les sur les courbes un dernier exemple qui est peut-être le plus important de tous

Enfin je sais pas en tout cas à mes yeux ça l’ c’est ce que j’ai appelé les anneaux hybrides c’està-dire que vous pouvez mélanger des nombres et des fonction par un exemple très simple vous pouvez prendre les polynôes en X et Y mais vous autorisez d’avoir des racines de 15 dans

L’écriture aussi donc vous avez une partie qui est arithmétique et une partie qui est plus et ça je pense enfin à ma connaissance c’est pas vraiment des anneaux qui avaient été considérés avant notaire mais c’est des anneaux qui rentrent vraiment dans le contexte de notaire parce que eux aussi sont notéiens donc

Ça c’est vraiment un cas nouveau où on avait pas de théorème de factorisation avant et maintenant on en a un donc la zoologie des anneaus est vraiment très très grande on demande juste savoir faire des additions des soustractions et des multiplications ce qui est un peu la base quand on va faire

Des maths et essentiellement dès qu’on sait faire ça et qu’on a cette condition de finitude de notaire et bien et on sait faire de la factorisation et la factorisation c’est quelque chose d’important ça a des applications en arithmétique en géométrie algébrique mais ça a aussi des applications en

Géométrie et cetera ça permet de comprendre les singularités et tout donc voilà ce que je voulais dire sur ce ce travail de Neire dans les quelques minutes qui me restent je vais essayer de vous expliquer un peu enfin un peu plus parce que j’ai déjà commencé la répercusstion de de ces travaux tout

Au long du 20e siècle en fait elle est immense je reviens sur le même transparent euh donc je disais elle est immense mais donc quelle est-elle euh en fait euh ce qui s’est passé c’est qu’avevec Neire enfin l’école de neuire façon plus généralement on a vraiment changé de

Point de vue avant quand on faisait de la de l’arithmétique on étudiait euh des euh euh des nombres entiers éventuellement des nombres entiers algébriques avec des racines de 15 ce genre de chose quand on faisait de la géométrie algébrique on étudiait des polynommes quand on faisait de la

Théorie des invariant on s’amusait à calculer des des invariants justement et avec ne après ne la géométrie algébrique par exemple ben ça c’est devenu l’étude des anaux enfin c’est le cadre d’étude c’était celui des anaux justement parce qu’on avait on on s’est rendu compte qu’on avait pouvait avoir des théorèmes

Dans la généralité des anneaux et donc on commençait plus par je sais pas soit X et Y Z des variables on va considérer les polynômes machins mais plutôt par on considère un anneau et on va travailler dans ce cadre et ça ça d’après moi c’est vraiment enin notaire a été peut-être

Pas la seule mais enfin quand même une des grandes persones une des grandes mathématiciennes qui ont contribué à faire changer le point de vue ce point de vue-là et c’est vraiment un point de vue qui a montré toutes ses toute sa toute sa puissance tout au long du 20e siècle

Notamment en géométrie algébque en particulier je peux citer grotendic si vous voulez mais il y a plein d’autres ches euh plein d’autres gens qui ont contribué donc les anneaux hybride là que vous voyez ici eux aussi qui mêlent arithmétique et géométrie ont été vraiment très important ont été très

Étudiés et ont contribué à presque la naissance d’une nouvelle branche des mathématiques qu’on appelle aujourd’hui la géométrie arithmétique c’est donc essayer de comprendre ces anneaux al la factorisation en particulier mais de manière plus générale euh d’autres propriétés de ces anneaux hybrides et une de et la propriété d’être neutérien

Est vraiment une propriété qui qui est importante qu’on retrouve partout qu’on retrouve dans beaucoup d’énoncés comme hypothèse c’est souvent une propriété qui fait marcher qui fait énormément marcher les les démonstrations parce que ça autorise comme on l’a vu d’avoir des raisonnements par récurrence enfin des sortes de généralisation de raisonnement

Par récurrence qui sont des choses que les mathématiciens font font beaucoup quand même donc les anneaux hybrides ont donné naissance à la géométrie arithmétique la géométrie arithmétique et en quelque sorte j’exagère un peu si je dis ça mais peut-être pas tant que ça non plus le point de vue moderne pour étudier les

Questions arithmétiques notamment les équations du francienne c’està-dire les équations sur les nombres entiers et plein d’autres choses donc la démonstration par exemple du théorème de ferma la la finale celle qui est d à Wiles en 1994 fait intervenir plein plein d’ingrédients mais c’est très les notions de géométri arithmétique sont

Très importantes là-dedans notamment essentielle et la théorie des anneaux est vraiment et enfin je veux dire sans ça on aurait impossible d’écrire la démonstration ouais il me reste 2 minutes donc je conclus l’exposé par juste on est très en ce moment je sais pas si ça vous a échappé peut-être

Pas les mathématiques les mathématiciens et mathématiciennes sont jugés par des critères bibliométriques donc j’ai fait un peu de bibliométrie sur de TER donc je suis allé sur Central blat donc central blat c’est une c’est une une base de données en ligne de tous les articles mathématiques qui sont

Publiés dans toutes les revues de recherche en mathématique et donc on peut interroger la base de données c’est c’est très facile et donc je lui ai demandé dis-moi en 2023 P 2023 ça veut dire ça combien il y a eu d’articles qui ont été publiés qui avait neutter rien dans le titre

Pour vous montrer que c’est encore une notion vraiment d’actualité donc dans le titre et donc ben il y en en a trouvé 37 donc sur Central blat vous avez donc l’année dernière donc juste sur l’année 2023 vous avez 37 articles qui ont été publiés euh qui ont notérien dans le

Titre donc dans la vraiment notérien c’est vraiment une notion centrale si vous faites la même requettete en demandant qui est notérien dans le résumé vous montez à 257 donc tout ça pour montrer que la notion notérien 100 ans après bah c’est devenu c’est encore une notion fondamentale en mathématique peut-être

Plus que jamais en fait et vous avez encore énormément de recherches sur les anneaux notériens qui sont vraiment devenus un objet un objet courant de de l’algèbre peut-être presque au même titre que les entiers sont un objet courant de l’arithmétique voilà donc j’espère vous avoir convaincu que les anneau

Notéiensespère vous avoir fait sentir sentir un peu quelle était la contribution de notire avoir convaincu que les anneaux notériens c’est très important pour l’algèbre et que ça a beaucoup d’applications dans les mathématiques et je vous remercie de votre [Applaudissements] attention on a le temps pour une courte question euh dans la condition de

Notaire que vous avez écrit tout à l’heure vous avez dit qu’il doit pas exister de suite infinie d’idéo enfin divisible tout ça ou euh dans le cas par exemple ex des séries entières ou des nombres péadiques comment on montre que ça n’existe pas enfin pour les entiers on pouvait dire

Qu’il y avait une descente infinie donc à chaque fois vous avez une démonstration un petit peu différente donc donc pour les polynommes c’est un théorème de notire pour les séries le même argument s’applique mais c’est un petit peu un petit peu il est même plus facile en fait pour les séries et en

Fait ce qui se passe c’est qu’il y a des théorèmes très très généraux qui disent que si vous avez un anneau et que vous lui appliquez une certaine construction si au départ vous étiez notérien vous restez notéien par exemple si vous avez un anneau quelconque et vous comprenez les

Polynômes à coefficiant dans cet anneau quelconque si l’anneau de base était neutérien alors l’anneau des polynômes est neutérien et vous avez plein de construction sur les anneaux que j’ai pas détaillé détaillé par exemple je sais pas moi les quotients les choses comme ça et à chaque fois vous avez des

Les compessions qui permettent d’avoir au péadque et à chaque fois vous avez des théorèmes généraux qui vous disent si vous appliquez telle construction et que vous êtes inutien vous restez ne rien ce qui fait que la plupart des anneaux qu’on va définir en fait ils vont être ne rien et juste en appliquant

De la même façon que vous avez des théorèmes qui vous disent que je sais pas moi la somme ou le produit de deux fonctions dérivables et dériva donc vous avez pas grand chose à vérifier en général pour montrer qu’une fonction est dérivable là vous avez à peu près le

Même genre de machinerie vous avez des théorèmes de stabilité très très généraux qui vont vous dire que si vous partez des anneaux classiques qui sont déjà notériens vous faites des constructions à partir de cell-là vous allez rester dans le monde notérien en réalité c’est plus dur de construire des

Anneaux non notériens que des anneaux notéens merci je suis désolé on va on va devoir quitter la salle puisque ça fait ferme à 20h prochain rendez-vous avec un texte un mathématicien Virginie bonayi Noël va nous parler le 3 avril prochain de peut-on entendre la forme d’un tambour d’après Marc 4 merci encore

Xavier et à bientôt merci beaucoup à vous pour cette invitation et pour m’avoir donné l’opportunité de parler de de notire qui est une grande mathéaticienne à mes yeux