Depuis 2008, le cycle « Un texte, un mathématicien » permet à un large public de découvrir les mathématiques contemporaines. À chaque séance, le conférencier part d’un texte récent ou ancien – de Buffon à Moser, en passant par Poincaré ou Turing – pour présenter des recherches mathématiques en cours.
Par Martin Andler, mathématicien, CNRS
Cycle de conférences organisé par la BnF et la Société Mathématique de France.
En savoir plus sur le cycle de conférences Un texte, un mathématicien : https://www.bnf.fr/fr/agenda/un-texte-un-mathematicien-0
Bonsoir et bienvenue à tout le monde bienvenue à toutes celles et ceux qui ont bravé les intempéries pour venir écouter des maths ici à la BNF en particulier on a le grand plaisir d’accueillir quatre lycées aujourd’hui le lycée des frambourgeois le le lycée Sophie Germain le lycée Jul ferry de Paris et
Le dernier arrivé le lycée épin de Vitri on pense également au lycées qui nous suivent à distance en particulier le le lycée Louis Armand et le pauvre lycée bless Pascal qui n’a pas pu venir à cause des intempéries cet exposé inaugure la saison 2024 du cycle un texte à
Mathématicien pour celles et ceux qui ne connaîtraient pas déjà ce cycle de conférence elles sont organisé en collaboration par la BnF donc vous connaissez c’est lese le lieu où vous êtes merci en particulier à Richard DAO et Artman qui organise ce cycle euh animat l’association une association qui
Gère les mathématique en dehors de l’école représentée ici par Guillaume SAES et la société mathématique de France qui est une des sociétés savantes pour les mathématiques en France représenté ici entre autres par marieclaude Arnaud et Claire rart qui doit être quelque part euh ce cycle à des partenaires en
Particulier merci la Fondation bless Pascal et au merci au magazine tangente alors malheureusement le le magazine tangente est endeuillé par la perte de Gill Cohen qui est décédé subitement en fin d’année dernière il a œuvré à la tête du magazine qu’il a créé d’ailleurs pendant de nombreuses années
Et c’était un acteur majeur de la diffusion des maths en France alors cette nouvelle saison commence avec un invité très particulier Martin andleur Martin est mathématicien et professeur émérite à l’université de versailles- Saint-Quentin si le nom a pas changé ça par il faut rajouter Paris saint-clé par versaill Saint-Quentin Paris sa- par
Sa ses recherches il a soutenu sa thèse d’État en 1983 qui avait pour titre la formule de plancherelle pour les groupes algébrique complexe donc si vous voulez plus de détails demander à Martin à la fin de la conférence ses recherches en mathématique portent sur les groupes de lit et leur représentation avec des
Points de vue variaable analytique algébrique et cetera et il a aussi effectué des recherches en histoire des mathématiques sur la période de 1870 à nos jours Martin a également eu une vie à académique très rempli il a été vice-président de la Société mathématique de France de 97 à 99 et
Surtout il est très connu comme étant le président de l’association de l’association animat qui a créé entre 1998 et 2017 puis vice-président de 2017 à 2022 et il a également créer le cycle un texte un mathématicien donc ce que vous regardez aujourd’hui en 2005 donc
Il y a exactement 19 ans et il en été responsable jusqu’en 2015 donc 10 ans donc ça fait une belle longévité je sais pas si je durerai aussi longtemps Martin à toi la parole merci merci au au comité de de m’avoir invité bonjour à à toutes
Et tous donc je vais vous parler de la symétrie dans dans tous ces états et je vais commencer par vous montrer de de l’épidopterère c’est comme ça qu’il faut dire papillon c’est une gravure qui est extraite d’un livre d’un certain Lucas du 19e siècle qui fait partie qui est disponible sur
Galica à la Bibliothèque nationale de France je vous recommande beaucoup [Musique] Galica donc pour pour enfoncer le clou je montre l’axe de symétrie de ces deux papillons je montre aussi oups les le fait je soulligne la la la symétrie je vais vous montrer maintenant un autre un autre
Euh objet enfin une autre photo où on voit la symétrie donc c’est le château de Versailles donc le château lui-même n’est pas entièrement symétrique le jardin de Le Nôtre lui l’est complètement et euh et j’ai fait j’ai mis l’axe de symétrie et je soulligne aussi la symétrie qui
Est là donc ce qu’on voit c’est que la la symétrie c’est quelque chose qui existe dans la nature et qui existe aussi dans la culture beaucoup beaucoup de d’objets euh construits par les hommes euh ont présente une une une symétrie Notre Dame et puis il y a un autre type de de
Symétrie la symétrie par rapport à un plan alors là j’ai préféré faut vraiment pas donc ça c’est le bébé qui découvre son image dans le miroir c’est un un stade très important du développement psychique d’un d’un bébé ou alors c’est une gravure de Daumier représentant Narcisse s’admirant dans le le reflet son reflet
Son reflet dans l’eau c’est aussi une gravure qui est disponible sur sur galiga donc la symétrie c’est quelque chose de très simple d’ailleurs j’ai fait une vérification c’est au programme du cycle 1 dans l’enseignement primaire donc vous devez tous connaître ça très très bien alors je précise avant de
Parce que ça va devenir un peu plus compliqué ceci c’est pas un cours c’est une conférence dans une conférence on on comprend pas forcément tout mon mon but c’est de faire passer quelques idées quelques idées donc c’est il faut pas comprendre ça comme un cours et c’est une conférence qui va se couvrir
Beaucoup beaucoup de concepts mathématiques assez compliqués et donc les spécialistes il y en a quelques-uns ici vont être absolument horrifiés par les slification que que je vais faire et il apprend aussi quelques historiens qui sont ici et qui vont être tout aussi horrifiés par les simplifications que je
Vais faire parce que si je faisais pas des simplifications je ferais pas une conférence de 55 minutes mais une conférence de 55 he et je pense pas que vous auriez très envie bon donc la symétrie c’est simple non c’était simple puisque les mathématiciens vont s’en mêler et tout va devenir euh significativement plus
Compliqué alors je vais commencer je vous montre un triangle pas très compliqué c’est un triangle équilatéral et dans un triangle équilatéral on peut montrer il faut pas que je m’éloigne trop de donc vous avez vu on a échangé les deux sommets l’orange et le et le jaune
Enfin il est jaune plus ou moins jaune le ver le vert en haut est resté fixe si on échange les deux sommets on échange aussi les deux côtés mais pour qu’on puisse voir il est plus facile de représenter juste l’échange l’échange des sommet donc ça c’est clairement une symétrie une symétrie axiale et
Puis il y a une autre symétrie parce que si on prend ici non je pense c’est ce sommet là vous voyez euh il y a la même symétrie mais cette fois-ci par rapport au sommet orange et puis il y en a une troisième qui est la symétrie par
Rapport à l’axe qui est ici qui échange la verte et l’orange donc en fait il y a pas une symétrie il y a trois symétries et puis si on fait une symétrie et puis ensuite une autre symétrie à votre avis qu’est-ce qu’on va trouver une symétrie non mais je pose des questions
C’est pour que vous répondiez là c’est pas alors une symmétrie ou bon vous voulez pas répondre tant pis B on va regarder donc vous voyez je fais une première symétrie une deuxème symétrie je compare avec ce qui est à droite mais en fait ce que ça a fait c’est une
Rotation la composée de ces deux symétries ça fait une rotation et puis en fait si je fais une symétrie je compose les deux de même symétrie mais en changeant l’ordre oups ben ça fait une rotation mais dans l’autre sens donc l’ordre dans lequel on compose est important en l’occurrence on dit que il
Y a il y a un phénomène de non commutativité alors c’est une question de définition on pourrait dire c’est une rotation on va en fait choisir comme on va le voir de dire que c’est aussi une symétrie mais dans un sens légèrement nouveau une symétrie d’une figure c’est une transformation géométrique qui garde
La figure elle-même complètement invariante donc elle peut échanger les sommets elle échange les côtés mais à la fin on a quelque chose qui est indistingable de la définition initiale donc récapitulons don euh le triangle équilatéral est conservé par trois symétries axiales il est conservé par deux rotations donc en tout il est
Conservé par C symétries alors non il faut ajouter la transformation identité celle qui ne bouge rien parce que c’est aussi une transformation qui conserve le évidemment qui conserve le triangle donc en tout nous avons si symétries et elle forme ce qui s’appelle un groupe c’est le un des concepts fondamentaux de de cette
Conférence donc si on fait une transformation puis une autre comme on dit si on les compose on obtient encore une transformation encore une symétrie et toute chacune de ces symétries a une symétrie réciproque par exemple si on fait une trans si on fait une rotation dans un sens mais c’est la rotation avec
L’angle dans l’autre sens et et puis comme on l’a vu l’ordre dans lequel on fait les symétries est important je vais donner plus rapidement un autre exemple le de le Do decagone donc il y a une première symétrie par rapport à l’axe 61 je vais PCER à ça comme étant une
Horloge il y a une deuxè type de symétrie en faisant ici l’axe 6 300 12 300 bon donc je peux répéter cette chose là en prenant tous les toutes les droites qui passent par deux sommets opposé ou alors toutes les droites qui passent par deux qui qui passent par des médiatrices de deux
Sommets voisins en tout et si je compose et et il y a un autre type de de symétrie qui est une rotation d’angle 30° en l’occurrence on a fait deux rotations ici d’angle 30° maintenant si on compose de symétries et bien ça a fait exactement
La même chose donc ça c’est ce que vous avez vu ici ça a fait la même chose que de faire une rotation puis là on fait les deux symétries dans le sens inverse et on fait la rotation inverse donc de la même comme pour le triangle on a une
Composé de deux symétries qui donnent une rotation en tout le groupe de symétrie de decagone a 24 éléments 12 symétries et 12 rotations parmi les rotations il y a une rotation d’angle zéro comme et c’est donc la même situation que pour le triangle équilatéral maintenant on va donner des exemples en en dimension
3 donc je fais un peu de chimie pas beaucoup he enfin pour ceux qui aiment la chimie dommage pour ceux qui n’aiment pas la chimie rassurez-vous donc ça c’est c’est la molécule de méthane on va pas parler du fait que c’est un gaz à effet de serre on va regarder juste sa
Structure géométrique donc là on l’a fait bouger dans toutes les directions donc au centre le le la boule verte c’est le carbone et les boules oranges et l’hydrogène si on fait tout bouger le centre reste si on permute les sommets le centre reste invariant donc du point de vue géométrique en fait on
Peut oublier le carbone qui est peut-être la chimiquement le plus important et juste regarder les sommets la la forme des sommets ça c’est c’est un tétraèdre donc comme on avait vu pour en dimension 2 il y a différentes rotations qui qui qui conserve ce ce tétraide là
C’est on prend un sommet on prend la perpendiculaire vers le plan opposé on fait tourner de de 120° on peut aussi prendre la droite qui passe par les milieux de de de deux côté opposé on fait tourner de de 180° puis on peut aussi faire une symétrie par rapport un
Plan donc on garde le ce ce ce côté est fixe et c’est ces deux côtés sont sont échangés en tout et je vais pas toutes les détailler il y en a certaines qui sont un peu difficiles à comprendre géométriquement il y a aussi 24 transformations qui préservent le
Tétraère donc le groupe de symétrie du tétraèdre à 24 éléments comme le groupe de tétraèdre du docone avait 24 éléments mais en fait ces deux groupes on va pas l’approfondir mais sont extrêmement différents donc la symétrie on l’a revisiter on était parti de la symétrie habituelle symétrie par rapport à une droite
Symétrie par rapport à un plan on est arrivé à une vision très différente c’est que les symétries d’une figure sont les transformations qui la conserve et ces transformations forment un groupe donc on a complètement changé le le point de vue on a peut-être plus un point de vue dynamique c’estàdire on
Pense que une symétrie c’est une opération qui transforme une figure et à la fin la figure la figure est inchangée première moment de de question est-ce qu’il y a un moyen de déterminer le nombre de symétries qui compose un groupe pour une figure donné alors dans certains cas par
Exemple pour le triangle c’est 6 pour le tétraè c’est 24 et si on faisait l’équivalent d’un tétraè en dimension supérieure ça ferait par exemple on arriverait à 120 bon représenter un l’équivalent d’un tétraide en dimension suppléur c’est un challenge sinon ça peut être une question compliquée par exemple si on
Prend un cube c’est un un exercice qui n’est pas absolument évident c’est de trouver toutes les isométries toutes les symétries d’un cube il y en a certaines que on peut trouver assez facilement d’autres qui sont d’autres qui sont plus compliqués donc c’est c’est c’est une question intéressante déter
Quand on a un objet déterminé l’ensemble de toutes ces symétries c’est c’est une question c’est une question intéressante mais pas pas évidente et qui à chaque fois il faut il faut bosser euh existerait-il une infinité de symétrie euh par rapport à à en trois
Dimensions ou alors alors il y a il y a des figures où il y a une infinitmétrie en fait c’est une très bonne question parce que c’est c’est de ça que je vais parler tout tout le reste tout le reste de la conférence ça va être de passer de
Un nombre fini de symétrie à un nombre infini de symétrie a plusieurs manière de le faire moi ce dont je vais parler c’est une certaine manière de une certaine manière de le faire bon on va passer à la suite donc l’inventeur des des groupes même qui a donné ce ce nom
Au concept qu’il avait inventé c’est Évariste Gallois Évariste Gallois est né en 1811 il est mort en 1832 il n’avait pas encore 21 ans quand quand il est mort c’était un mathématicien on va y revenir c’était aussi un révolutionnaire il a participé pas à la révolution de
Juillet mais c’est en de juillet 1830 mais s’est engagé euh juste juste après la Révolution juste après la révolution de juillet du côté républicain euh il avait euh euh il a en janvier 1831 il a été expulsé de l’École normale supérieure où il était étudiant parce que à cause de ses activités révolutionnaires
Euh quelques mois plus tard il a participé à un banquet républicain il a fait un discours qui fait qu’il a été arrêté et condamné et emprisonné en juillet 1832 pour atteinte à la sécurité de à à la sécurité de l’État il est resté en prison jusqu’en avril
1832 il est euh avant de passer à aux mathématique il est aussi au printemps 1832 il est tombé amoureux du une femme il a une brève liaison avec cette femme cette femme il y a quelqu’un qui dans un discours a insulté la femme en question
Il a Galois la provoqué en duel et il est mort à la suite de ce duel donc c’est une triste terrible triste histoire il y a eu une des premières conférences du thleint texte mathématicien a été sur Gallois il pourrait y en avoir d’autres c’est un si
J’ose dire c’est un bon sujet Gallois était aussi un mathématicien révolutionnaire par ses idées ces idées ont été peu comprises essentiellement incomprise de son temps pas totalement c’est-à-dire que les grands mathématiciens de son époque avait compris que ce jeune homme avait avait des idées mais essentiellement elles ont été
Rejetées et de manière étonnante en fait il a soumis en 1831 le 17 janvier 1831 donc jour pour jour il y a je vais me tromper dans la soustraction donc un peu moins de 200 ans il a soumis un manuscrit à à l’Académie des sciences qui n’a pas été qui n’a jamais été
Véritablement euh examiné donc alors il a eu une reconnaissance Postume vers 1845 en 1843 pour une partie en 1846 pour une autre il a été redécouvert par l’Académie des Sciences et par des académiciens des sciences et notamment par lville qui était un grand mathématicien de l’époque
Et qui a publié dans le journal de mathématique pure et appliqué qui était le journal dont il était rédacteur en chef il a publié les les les quelques articles de les quelques articles que Gallois avait écrit dans ces avant de avant de mourir ces idées ont été progressivement donc reconnues accepté étudié développé
Et en vers 1870 qui est le moment où ce dont je veux parler centralement commence euh elle commençait à être connu par un certain nombre de mathématiciens en Europe donc qu’est-ce que c’est que la théorie de Gallois alors vous connaissez je pense tous ENF les les lycéens doivent connaître euh pour les autres
Peut-être vous avez euh vous avez oublié vous avez des souvenirs de vagues souvenirs hein que les racines de l’équation AX2 + BX + C = 0 c’est donné par la formule qui est qui est là euh euh récemment j’ai deux fois écrit des formules fausses pour pour ça mais
J’ai j’ai corrigé donc ça c’est la bonne formule euh alors évidemment la formule n’a de sens si que si le discriminant est positif et puis euh il y a des racines similaires pour la l’équation x³ + px + Q qui sont donné par ces formules-ci elles sont un peu plus
Difficiles à interpréter je vais pas me marquer mais il y a aussi des formules du même type pour le degré 4 donc les formules qui sont ici les formules pour le degré 2 sont connues depuis très longtemps elles étaient certainement connues au 9e siècle à à l’endroit qui était la
Capitale mondiale des mathématiques à l’époque qui était Bagdad euh les racines de x³ + px + Q ont été déterminé au 16e siècle par des algébristes italiens tartalia et Cardon ils ont aussi fait le de le le degré 4 euh et ensuite à partir du 16e siècle on
S’est demandé mais est-ce que on peut avoir des formules du même type en degré 5 et on a essayé essayé essayé et sans succès vers la fin du 18e siècle des mathétiiciens qui ont soupçonné que il on on trouvait pas tout simplement parce que il pouvait pas y en avoir et en
Effet Galois démontre qu’il n’y en a pas en général en degré supérieur ou égal à 5 bon évidemment il y a des équations particulières pour lequel on a des des équations qui sont données par des formule de ce type là mais il s’agit de le faire en général en fait Gallois
N’était pas le premier à le faire il y avait eu Abel qui l’avait fait un petit peu avant mais Galois a développé une théorie beaucoup plus élaborée qui euh donne un critère qui permet de savoir dans quelles équations particulières de degrés supérieur ou égal à 5 il y a des
Solutions qui sont données par par des radicaux en fait le problème de savoir si des équations sont donnés ou pas par des radicaux n’est pas forcément passionnant en lui-même euh même sil occupent beaucoup les les élèves de de première pour l’équation du du 2 degré en revanche cette
Comparaison entre est-ce que une se un problème à une équation à des racines et la la la théorie les groupes que Gallois a mise en évidence ce qui l’intéressait c’est que il regardait le groupe qui échange les racines d’une équation donc il y a un nombre
Fini de Racine si une équation de degré n Il a n RAC et bien il y a un certain nombre de manièr d’échanger les racines factoriel N et donc on peut échanger les racines il y a peut-être pas toutes les racines peuvent être échangés de la même
Manière mais il y a un groupe qui échange les racines et la théorie de Galois établit un lien entre la possibilité de résoudre une équation et et les propriétés de de ce groupe donc la théorie de Galois c’est quelque chose qu’on apprend en général en disons
Dans un cursus de mat au niveau de de la première année de Master dans dans d’autres pays on fait ça plutôt mais enfin c’est clairement des mathématique très avancé et il y a des gens qui travaillent aujourd’hui encore sur la théorie de Galois alors qu’est-ce que nous retenons
Que les groupes ont été introduits par Galois pour la résolution des équations algébriques comme groupe de symétrie des équations et quand il voulait dire groupe de symétrie des équations c’est groupes de symétrie des solutions de de de l’équation ces groupes comme on l’a vu au début sont aussi très utiles pour
Représenter pour étudier les symétries de certains objets géométriques mais l’intention initiale de Gallois c’était pas tellement ça c’était vraiment la résolution des équations et donc les symétries d’une d’une équation donc je rappelle he juste les les exemples qu’on a donné de ces différentes de ces différentes symétries euh pourquoi les équations de Gallois
Elles ont j’ai pas il faut mettre le micro près de la parler dans le micro euh c’est là ah c’est là pardon ok euh pourquoi Galois pourquoi ces travaux ils ont pas été compris dès le début exact pourquoi ils ont pas été compris ben probablement parce que ces idées étaient
Enfin c’est banal de dire en gros ses idées étaient en avant sur son temps c’est-à-dire que il a il avait des idées il a eu des intuitions absolument incroyables il était très jeune donc il il navait pas forcément les usages sur la manière de la manière de les
Présenter il allait très vite et donc les mathématiciens n’ont pas compris tout simplement n’ont pas compris ces idées ce point de vue-l c’est en simplifiant ces idée était en avance sur son évidemment s’il avait vécu plus longtemps peut-être que les gens auraient compris plus vite mais bon il
Il n pas vécu je crois qu’il y a une question là-bas oui bonsoir est-ce que est-ce que Galois quand il travaillait sur la question de la résolution des équations il avait en tête des questions de symétrie de géométrie ou c’est vous qui faites le lien non je pense je pense pas qu’il
Avait en tête c’est c’est venu plus c’est vraiment venu plus tard cette vision géométrique est venue plus tard et d’ailleurs quand j’ai discuté avec des historiens certains m’ont dit oui oui c’est clair qu’en 1870 cette vision géométrique existait et d’autres m’ont dit non en 1870 la vision cette vision
N’était pas encore vraiment comprise donc en tout cas autant de Galois certainement certain [Applaudissements] pas bien donc vous savez dans enfin c’est pas du tout ça mais dans C’est quoi dans tartuf le tartuf arrive à l’acte 3 donc le héros principal de de la conférence il n’arrive que que
Maintenant donc j’ai présenté je présente Sofus le donc Sofus le est un mathématicien norvégien c’est une photo de lui relativement jeune il est né en 1842 il est mort en 1899 euh il est né dans un village qui s’appelle nor Ford fordake j’espère qu’il y a pas de de gens qui peuvent
Contrôler ma ma prononciation ici en Norvège c’est un village qui est assez éloigné de la capitale c’est pas dans le Grand Nord mais c’est quand même à une latitude de 61°gr de au nord donc il doit faire très froid pour eux là-bas c’est il fait chaud en ce moment ici
Son père est le son père est le vicaire du du village il a cinq frères et sœurs en 1851 la famille déménage à Mos qui est un bourg un peu plus gros qui est à 60 km d’Oslo euh et donc Oslo à l’époque s’appelle Christiania par ça ça s’est appelé oselo
Au départ ensuite ça a changé de nom parce qu’ils ont eu un roi qui s’appelait Christian Christian et puis c’est redevenu au slot plus tard à dans ce bour de Mos il y a une école secondaire mais qui ne va pas jusqu’au baccalauréat ou l’équivalent du baccalauréat norvégien donc euh il
Devient interne au Lycée Nissen de Christiania pour pouvoir préparer le baccalauréat il obtient son son diplôme et il devient étudiant en sciences à l’université de Christiania bon la Norvège à l’époque est un petit pays ça reste un petit pays c’est plus gros c’est devenu un pays très riche à cause
Du pétrole à l’époque c’était pas du tout un pays riche il se trouve que la Norvège au 19e siècle a donné aux mathématiques deux mathématiciens de premier plan il y a eu Abel au début du siècle et puis il y a sofusli dont on va parler maintenant à
La fin du siècle donc c’est un peu un hasard de l’histoire ce petit pays a eu une productivité mathématique absolument extraordinaire donc il obtient son diplôme en décembre 1865 l’homme se fuselie c’est un il a on dit qu’il a le physique nordique il est très grand il
Est très fort il a les yeux bleus il a les cheveux blonds enfin le l’archétype l’archétype du nordique il est aussi aussi euh il est chahuteur et tapageur il est aussi très sportif il est plus connu parmi ses camarades comme étant un grand sportif que comme étant un un
Génie un Génie Mathématique exemple il habite il est à chistiania il habite ses parents habitent à 60 km de là donc il rentre quand il rentre dans sa famille certains weekend et bien il fait ça à pied et il y a eu même une anecdote suivant laquelle un jour il avait oublié
Un bouquin chez dans sa famille et il a fait l’aller-retour dans la dans la journée donc 120 km 120 km à pied donc c’est vraiment un un sportif euh c’est un bon étudiant mais il est pas exceptionnel euh une fois son diplôme obtenu il a 24 ans il n’a pas vraiment de
Projet il est déprimé et au au point Queau printemps 1866 donc peu après avoir obtenu son diplôme il écrit mon intention était de me suicider mais je n’en avais pas la force en conséquence j’ai une deème chance d’essayer de vivre et en fait ce qu’on sait c’est que il a été il
A il a eu des périodes plutôt dans sa vie plutôt euphorique et il a eu des périodes plutôt plutôt dépressives dans sa vie ça l’a accompagné un petit peu toute sa vie entre 1866 et 18 69 il y a une métamorphose le début 66 67 c’est les années
Creuses il il a décidé de pas devenir professeur de lycée il aurait pu parce qu’avec son diplôme de l’université il aurait pu devenir professeur de lycée il décide de pas le faire donc il vit de petits cours il est assistant de laboratoire laboratoire d’astronomie il n’a pas perdu son style
Un petit peu grande gueule donc un jour il pour se réchauffer dans le laboratoire d’astronomie il il sautait par-dessus les instruments à à sautemouton ce que le professeur n’a guerre apprécié donc il l’a enfermé dans dans une pièce lit a sauté par la fenêtre enfin bon c’était plutôt un
Plutôt un farceur que un étudiant sérieux conséquence il convoitait un poste d’assistant à l’université il n’a pas obtenu il euh il en janvier 68 il se met sérieusement au travail alors on sait pas trop exactement s’il y a eu un événement particulier mais en tout cas en 68 1868
Il se met sérieusement au travail donc il lit d’abord Euclide donc c’est pas des mathématiques franchement nouvelle de lire eclid mais il lit eclid puis ensuite il lit Abel qui est le le héros national qui qui est mort depuis depuis longtemps et puis il lit d’autres mathématiciens donc il lit euh
Euh euh il lit il lit Poncelet il lit euh pluer il lit différents mathématiciens contemporain euh et il se trouve que en 1868 un coloque une espèce de congrè organisé à Christiania il y va et il entend parler de mathématiciens comme pler de mathématici contemporain il se met à les
Lire et ça l’intéresse beaucoup et voilà les les mathématiciens qui qui l’a lu et il publie un court article dans le prestigieux journal pour les mathématiques pur et avancé le journal dit journal de Crelle donc c’est sur les quantités le rôle des quantités imaginaires en géométrie donc tout à coup il est devenu
Mathématicien il n’a pas encore sa thèse il est devenu mathématicien et sur la base de de cet article il obtient une bourse qui lui permet d’aller à l’étranger parce que il est clair que pour se former à plus haut niveau il n’y a pas les ressources disponible à
Christiania et donc il faut aller à l’étranger donc il part et la première étape c’est Berlin à cette époque là Berlin est certainement une des capitales mat matique du monde l’Allemagne est certainement dans cette époque- làà à partir de 1860 c’est vraiment le le premier pays en mathématiques dans le
Monde Berlin l’université de Berlin est un de ces endroits où on fait des mathématique de de très haut niveau il y a des mathématicien qui s’appelle werstass par exemple qui est un petit peu le le la tête de le le chef de fil des des mathématiques berlinoises et là
Euh il arrive il arrive à cette université en 1869 et il fait une rencontre décisive c’est un mathématicien qui s’appelle Félix Klein donc voici voici la photo Félix Klein est assz très différent de de l l a déjà donc on est en 69 donc lit à 27 ans euh
Il n’a pas encore de doctorat Klein a 20 ans il a 7 ans de moins il a déjà son doctorat parcequil a soutenu sa thèse à 19 ans Klein c’est l’exemple même du du petit génie très précoce qui a une curiosité insaciable il sait tout ou il
Apprend tout il est très à l’aise socialement alors que liit et quand même vient d’une d’une petite ville de province il est bourru il est pas très sociable et cetera malgré tout les deux deviennent très amis et ils entament une collaboration intense collaboration mathématique int Klein et Lee décide d’aller à Paris Paris
Est à mon avis n’est pas n’est pas au même niveau mathématique que les grandes que les grandes universités allemande à cette époque là mais c’est quand même une très un très bon centre donc lit par pour Paris début 70 Klein va le rejoindre un peu après quand le semestre
Parce que Klein doit enseigner donc quand le semestre se se termine et là il rencontre Gaston d’arbou et Michel chal Gaston d’arbou qui est jeune he puisque il est né en 1842 donc en 1870 il a 28 ans il est à peine plus vieux que que li Michel chal
Est beaucoup plus âgé c’est le c’est un peu le grand le le comment dire la une personnalité dominante des mathématiques en France vers cette époque là c’est lui aussi en 1872 puisque ce cycle est organisé par la SMF il a été le premier président de la Société mathématique la société
Mathématique de France alors vous remarquez la différence de style he le T tous les hommes qu’on va voir sont de de la fin du 19e siècle son ont des grandes barbes chal vient d’une période plus plus recul où la barbe était beaucoup moins à la mode bon donc Lee et Klein rencontent
Chles et Jordan c’était un peu pour ça qu’ils étaient venus à Paris et il rencontre enfin Jordan et Darbou et Jordan don voici la photo vient de publier ce qui est l’ouvrage de référence sur les groupes donc tout à l’heure j’ai expliqué que les idées de gallois qui n’avaent pas été compris ont
Commencé à être comprises vers dans les années 1840 et en 1869 là il commence à y avoir une très bonne compréhension de l’importance des groupes et jornan écrit un immense traité de de plus je sais plus 1000 ou 2000 pages ou quoi de sur sur les
Groupes le séjour à Paris il pour l’un et l’autre il est extrêmement productif sur le plan mathématique il font donc il est interrompu le 19 juillet 1800 70 par la déclaration de guerre de Napoléon à la Prusse la Prusse a fait toutes sortes de provocations napoléon y a répondu de
Manière arrogante en disant on va leur mettre la pâée ça a été une catastrophe Napoléon a a dû abdiquer peu après enfin bon ça a été une une grande un grand désastre pour la France c’est pas le sujet donc euh Klein qui est prussien qui est allemand doit ne peut pas rester
À Paris donc il s’en va lit est neutre donc il peut rester à Paris mais quelques semaines après le débart de Klein il décide qu’il a eu enfin que ses contacts ont été très productifs et qu’ peut euh qu’ peut rentrer en norvange mais avant il voyage et euh il décide de
Visiter l’Italie euh donc il part en Italie mais comme il euh comme il aime bien marcher il part à pied en route euh en route il s’arrête quelques jours à Fontaineblau à Fontaineblau il est arrêté parce que on le fouille et on trouve dans ses papiers dans ses sacs
Des trucs écrits en allemand des avec des symboles cabalistiques donc il est considéré comme étant un espion heureusement euh Darbou apprend cette histoire et intervient pour faire libérer l’IT qui peut reprendre son voyage qui a d’autres mais aventure parce qu’au moment de franchir les Alpes euh il a fait ce qu’il avait
Un peu l’habitude de faire quand il pleuvait et qu’il marchait c’était de se mettre nu entièrement nu et il se fait arrêter parce que il est tout nu dans tout nu dans la montagne bon mais ça ne dure pas très longtemps donc il il peut rentrer il peut rentrer en
Norvège alors qu’est-ce qui liait lit liait lit lit et et Klein lit petite parenthèse lit il faut prononcer lit mais si on sait pas et qu’on on on le lit en anglais ça se prononcerait l’ ce qui veut dire mensonge en anglais donc mais bon c’est c’est donc une fois un sénateur
Américain c’est indigné du fait que on faisait des recherches sur les groupes de mensonges et et bon donc ça a beaucoup fait rire les spécialistes de groupe de lit aux États-Unis donc les intérêts de de Klein et lit c’est la géométrie des Courmes des surfaces et d’objets du même type mais de dimension
Supplé une courbe c’est un objet de dimension 1 parce qu’il suffit de un paramètre pour décrire tous les points de la courbe une surface on a besoin de deux paramètres par exemple pour la sphère on a besoin de la longitude et la la latitude et ben si on prend des
Objets de dimension 3 on a besoin de trois paramètres et cetera et cetera alors on voilà quelques objets du genre de ceux auquel on s’intéresse alors ça c’est une boule mais en fait ce qui nous intéresse c’est pas la boule c’est vraiment la la surface donc la sphère ça c’est un paraboloïde
Hyperbolique c’est comme la forme c’est comme une celle de cheval ou ah non pardon je me suis trompé c’était un peu méchant par je pense que vous avez faim mais bon c’est la forme c’est ce qui s’appelle un Tor c’est une très très jolie forme et très intéressante et
Puis ici c’est une surface de cumer qui était un un objet géométrique qui a beaucoup intéresser les géomètres justement à à cette à cette époque là alors des surfaces de ce type sont donné par des équations cartésiennes qui sont plus ou moins compliquées donc voilà les équation de la sphère voilà l’équation
Du paraboloïde hyperbolique voilà l’équation du Tor et puis ça c’est l’équation de la surface la surface de kumer donc c’est donné par des équations certaines sont simples d’autres sont compliquées et ce à quoi on s’intéresse c’est des propriétés de ces surfaces dans lesquelles on va pas rentrer dans les
Détails et de courbes tracé sur ces surfaces alors exemple comment mesurer quelle est la bonne manière de mesurer la courbe d’une surface ben c’est c’est pas ça n’a rien d’évident c’est des choses sur lesquelles les mathématiciens au 19e siècle ont beaucoup ont beaucoup avancé notamment Gaos est-ce qu’on peut déformer une
Surface par exemple est-ce qu’on peut déformer un plan pour envelopper une sphère alors on sait tous que non on peut pas mais ça peut se démontrer mathématiquement pour envelopper une sphère il faut friper donc il faut faire des pis pour pour envelopper une sphère avec avec un plomb
Et puis voici un problème plus un peu plus sophistiqué comment sont les géodésiques tracés sur une surface les géodésiques c’est les chemins de plus courte distance sur la surface exemple bon ben dans le plan c’est simple c’est la ligne droite si vous allez deux points le le chemin le plus court pour
Aller d’un point A à un point B c’est la ligne droite c’est pas du tout facile à démontrer sur une sphère c’est encore plus compliqué à démontrer c’est des ce qu’on appelle des grands cercles c’est des cercles qui séparent la sphère en deux parties en deux parties
Égales bon en général donc ça il y a des réponses géométriques simples pour répondre à ces questions sur une surface en général ou sur une c’est de l’analyse difficile par exemple l’équation pour calculer les dés X sur une surface de révolution c’est une équation de ce type donc c’est une équation très compliquée
Il y a pour les lycéens qui sont ici il y a absolument pas moyen de comprendre en détail de quoi il s’agit mais ce que vous repérez ici c’est qu’il y a des symboles qui ressemblent à des symboles de dérivation hein il y a un D sur D de
Sur DV le D est un petit peu tordu parce que ces fonctions sont des fonction de plusieurs variables et on fait une dérivation par rapport à une seule des variables à chaque fois autre exemple euh pour calculer des surfaces minimales voici c’est les deux choses que je vous ai montré c’est des
Extraits de texte de de l’époque du 19e siècle c’est il faut résoudre les équations qui sont les équations qui sont ici bref et on va pas rentrer dans plus de de détails les équations qu’on rencontre sont des équations différentielles en fait aujourd’hui on dirait que c’est des équations au dé
Partiel mais ça généralise les équations différentielles et au 19e siècle ils utilisaient alternativement équation différentielle ou équation au dérivé partielle alors le point essentiel c’est que dans des équations de ce type l’inconnu c’est une fonction une fonction d’une ou plusieurs variables mais l’inconnu c’est une fonction alors au programme de Première
Il y a un exemple un unique exemple c’est la fonction exponentielle e^iss X est solution de l’équation différentielle y prime = y et on peut démontrer que toutes les solutions sont proportionnelles à celle-ci voilà un exemple d’équation différentielle on peut pas au 19e siècle et encore aujourd’hui d’ailleurs on étudie
Beaucoup les les équations différentielles au 19e siècle ils avaient atteint un degré de sophistication absolument énorme et en l’occurrence les problèmes quelle s’intéressait Klein et Lee étai des problèmes de géométrie qui pour les résoudre prenait appui sur des équations de ce type là on a une question du chat qui est
J’ai entendu dire que Sofus le avait inventé les groupes de lit lors de son séjour en prison est-ce que c’est une légende euh B c’est le le enfin oui c’est une légende euh sauf husli lui en fait à ma connaissance n’a jamais été en prison ou de manière très brève
Peut-être quand à Fontaineblau il a été arrêté je crois pas qu’il ait fait quoi que ce soit de d’important en prison bon le séjour en prison est parfois très productif pour les mathématiciens il y a plusieurs exemples mais en l’occurrence pas on va voir exactement comment et
Quand ce fusli a inventé les les groupes de lit c’est c’est la suite c’est la suite de la conférence mais à ma connaissance c’est pas en prison qu’il a particulièrement avancé sur ce sur ce sujet il y a peut-être une autre question là-bas bonsoir je voudrais savoir est-ce
Que les les surfaces et objets de dimension supérieure qui intéressaient l Klein c’est plutôt des exemples concrets du type généralisation du tort de l’hyperbolide à des dimensions supérie ur défin par des équations explicites ou est-ce qu’ils essayaient de construire une théorie générale plus à la riman et cetera bah enfin très souvent beaucoup
De ces problèmes c’étaaient des problèmes concrets sur des des sur des surfaces sur des surfaces concrètes mais évidemment de derrière il y avait aussi des questions qui étaient des questions qui étaient absolument générales mais enfin les problèmes en tout cas auquels ils sont intéressés à ce moment-là
C’était plutôt des des en fait des surfaces des constructions qui était extrêmement concrète bien donc on arrive maintenant au cœur du du sujet liit vers 187071 commence à avoir une idée fixe c’est c’est le terme qu’il a utilisé c’était une idée fixe qu’est-ce qu’il voulait faire il voulait il avait une
Ambition qui était de faire ce que Gallois avait fait pour les équations algébrriques c’est-à-dire de comprendre comment les symétries de l’équation permettaient de résoudre l’équation algébrique il a voulu le faire pour oups pour les équations différentielles donc symétri on va on va voir ce que son pour des équations différentielles
L’obstacle c’est que la notion de groupe dont on avait besoin pour jouer ce rôle de n’était pas n’était pas encore inventé il y avait elle était légèrement balbuciante mais essentiellement elle n’existait pas parce que contrairement au groupes de Galois qui sont finis c’est la question qui a été posée tout à l’heure les
Groupes de symétrie dont lit à l’intuition sont infinis et même continu donc le mot continu en l’occurrence c’est le mot que qu’il faut que j’explique maintenant qu’est-ce que c’est qu’ un groupe continue déjà si on regarde ici vous voyez on se déplace sur le plan et on peut se
Déplacer dans n’importe quelle direction et avec n’importe quelle distance les bouger sur le plan ça dépend de deux paramètres qui est un paramètre de distance et un paramètre d’angle et chacun de ces deux paramètres peut prendre n’importe quelle valeur n’importe quel nombre n’importe quelle valeur réelle si on prend se déplacer
Sur un cercle là on a un seul paramère m c’est l’angle mais cet angle peut prendre là aussi n’importe quelle valeur entre 0 et 360° maintenant si on regarde ce qui se passe sur une sphère donc pour pour ce qui m’intéresse c’est la sphère mais pour rendre ça plus
Joli c’est une c’est un un globe terrestre qu’on a choisi donc le point jaune qu’on a choisi c’est la capitale de Lou c’est campala qui a l’avantage d’être sur l’équateur donc qui est ici et ce qu’on a vu c’est un mouvement dans tous les sens donc un peu le genre de
Mouvement qu’on verrait si on jouait au foot avec cette sphère maintenant on va organiser voir un peu plus systématiquement le genre de des transformations donc les premières transformations qu’on peut voir c’est des rotations par rapport à un axe qui est un axe horizontal qui fait qui va
Vers vers moi il y a un deuxième type de rotation c’est une rotation par rapport à l’axe qui est horizontal qui est ici et puis 3oème type de rotation c’est rotation par rapport ici par rapport à l’axe qui passe par les deux pôles maintenant je vais faire une rotation
De degré 60° par rapport à l’axe X qui est par ici et une rotation par par rapport à l’axe Oy alors on va regarder ce qui se passe donc rotation par rapport à l’axe au X rotation par rapport à l’axe au y et on arrive ici quelque part ça doit
Être à peu près en Sibérie maintenant on va faire les deux mêmes rotations mais dans l’ordre différent donc là on a mis le point d’arrivée est en jaune on a mis le en vert le point de départ et ah bon excusez-moi donc là on fait les rotations dans l’ordre différent et
Comme on le voit onarrive vraiment pas du tout au même endroit une autre manière de voir la même chose c’est de faire la la même rotation d’axe X de 60 deg puis la rotation Ry et puis ensuite de revenir en arrière en changeant de sens donc faire la rotation
Au X d’ de d’angle – 60° puis Ry d’angle – 60° donc regardons ce qui se passe alors ce qu’on voit c’est qu’on revient pas au point de on revient pas au point de départ et puis si on fait alors que si on fait euh la même chose mais avec des
Translations dans le plan je fais deux translations et puis je fais les translations inverses je reviens au point de départ donc on voit que c’est un peu lié au fait enfin c’est tout à fait lié au fait que la la sphère est courbe et le plan est plan c’est que
Les translations l’ordre dans laquelle on les fait n’est pas important les rotations là l’ordre dans lequel on les fait est important donc on a vu un peu cet exemple de euh euh de transformation continue donc qu’est-ce que fait liit entre 1871 et 1888 ça c’est les années décisives mais entre 1871 et
1874 les idées principale de la future théorie des groupes continu se cristallise dans dans sa tête en 1872 il obtient une chair de professeur à Christiania donc il peut s’installer à Christiania il a d’excellentes conditions de travail donc il peut travailler il peut poursuivre son idée
Fixe il ne travaille pas du tout seul on va voir d’ailleurs qu’il sera accompagné à partir d’un certain moment mais il là d’abord il publie régulièrement il a de très nombreux échanges avec les mathématiciens français et avec des mathématiciens allemands principalement il poursuit son idée fixe et à partir
D’un certain moment un jeune mathématicien allemand le rejoint en en Norvège puceque les amis de lit pensent que son projet est tellement ambitieux qu’il n’arrivera pas à le mener à bien sans être aidé par par quelqu’un la cette collaboration se pourt à Leipzig parce que lit tient un
Poste à l’ti en fait il va succéder à Klein dont on a déjà parlé comme professeur à l’tic et donc Lee est devenu professeur à latique en 1886 et Engel le suit et le résultat c’est qu’il publie en 1888 3 volumes 1 2 3 en tout 2000 pages donc c’est la théorie transformation
Group théorie des groupes de transformation donc où dans lequel est exposé de manière très systématique cette théorie de bah de quoi de ce qu’on appelle aujourd’hui des groupes de lit un jeune mathématicien français dans sa thèse en 1893 propose dans l’introduction de sa thèse d’appeler groupe de lit les groupes continu de
Transformation et le le mot a S imposé s imposé très très rapidement alors l’idée clé il manquait on avait cette intuition de gROUPE CONTINU mais il fallait une idée clé pour pouvoir traiter ces chosesl de manière un peu systématique et l’idée clé c’est le calcul différentiel le
Calcul des dérivées donc vous savez je pense que si vous prenez la valeur d’une fonction en F de en X plus un petit accroissement Delta x alors c’est égal à FX plus quelque chose qui est proportionnel à Delta X qui est mesuré par la ce qu’on on appelle la dérivée de F en
X ça c’est ça marche pour Delta x petit et donc c’est un symbole d’approximation au 19e siècle et d’ailleurs aussi au 20e siècle et au 21e siècle les beaucoup de mathématiciens et certainement tous les physiciens et tous les ingénieurs pensent à des accroissements infiniment petits ce qui
N’a pas un sens mathématique très précis mais ce qu’ a une nuristique extrêmement efficace et à ce moment-là FX + DX est ég FX + F prime x DX étant donné que DX est infiniment petit donc le terme d’erreur en quelque sorte peut peut on ne l’écrit on ne l’écrit pas donc ça
C’est une idée extrêmement forte le calcul différentiel a été inventé au 17e siècle par Newton et par complètement révolutionné les ma et l’idée de l c’est d’appliquer ces idées à à ces groupes de transformation alors on va essayer d’en voir un tout petit peu une manifestation ou là là
Euh on va faire les mêmes quatre rotations que tout à l’heure mais au lieu de prendre un angle de 60° on va prendre un très petit angle alors 1 degr c’est pas infiniment petit c’est petit mais moi je sais pas dessiner des angles infiniment petit donc on va faire les
Mêmes donc si vous avez fait très attention vous avez vu que le point jaune a un petit peu bougé évidemment il a pas beaucoup bougé alors pour y voir quelque chose on doit beaucoup beaucoup agrandir et quand on agrandit beaucoup en fait quand on agrandit une sphère beaucoup elle devient plate elle elle
S’identifie à son planant enjon donc regardons un peu ce qui se passe sur ces quatre petites rotations donc voilà un schéma de ce qui se passe donc on a fait une des rotations d’axe Ox et Oy et à la fin on arrive à à quelque chose le point
D’arrivée c’est un point qui est sur qui qui est sur l’équateur donc on a fait des rotations par rapport au au x comme ça auy et à la fin on obtient une rotation une rotation d’axe verticale donc une rotation horizontale ça c’est une illustration de cette chose décisive on a défini une nouvelle
Opération on a pris deux du éléments du groupe infinitésimal donc des rotations infinitésimales Ry de un un accroissement infinitésal Ry d alpha on a calculé cette on a fait ce produit là et on a trouvé une rotation de par rapport à au Z ceci en langage moderne c’est le
Langage qui est ici c’était vraiment celui qui est utilisé par Li il utilisait cette notion de groupe infinitésimal en langage moderne c’est le groupe infinitésimal s’appelle l’algebre de liit et la nouvelle opération sur le groupe infinitésimal s’appelle le crochet de lit et la notation on prend X et Y deux éléments
De l’algebre de lit et Z Z ég crochet XY c’est c’est le le crochet de lit donc c’est vraiment ça l’idée absolument centrale de la théorie de lit c’est que on peut considérer ce que lui appelait le groupe infinitésimal ce que nous on appelle algèbre de lit et que on a une
Opération sur le crochet appelé donc on a une correspondance entre groupe de lit et algèbre de lit et le ou les théorèmes cent du gros gros bouquin que dont j’ai parlé là du bouquin de lad 88 c’est on a ce qu’ on a trois théorèmes fondamentaux que dont je
Peux pas donner du tout le la la le détail mais en substance c’est que la correspondance entre groupe de la lit et algebre de lit est une bonne correspondance c’est tout groupe a une algebre de lit et tout algebre de lit à un groupe de lit et on peut transférer des démonstrations à
Faire sur les groupe de lit a des démonstrations à faire sur l’algebre de lit et réciproquement et donc c’est une simplification pour beaucoup de démonstrations parce qu’on peut faire des démonstrations sur l’algebre de lit qui sont des démonstrations qui sont souvent plus facile à faire donc voilà
Le théorème 21 du volume 1 de de liit qui explique ceci donc il y a les ce qu’on appelle les les constantes de structure qui doivent être quelque part enfin peu importe c’est ça le l’énoncé qui dont qui exprime ce fait que cette correspondance est une bonne correspondance alors où en sommes-nous
Nous avons commencer par élargir la notion de symétrie en l’identifier à l’invariance d’une figure d’une équation d’une situation par un groupe ensuite on a élargi la notion de groupe au départ on avait des groupes fini et maintenant on a des groupes continu qu’on appelle
Groupe de lit et on a vu qu’ un groupe de lit était associé une algèbre de lit et sur lequel il y a une opération qu’on appelle le crochet de lit il y a aussi une question là il me semble que que riman ensuite avait élargi cette notion de géométrie dans un
Cercle dans une sphère plutôt non ah ben enfin je riman est un très grand géomètre un petit peu antérieur un peu antérieur à liit qui a en effet défini ses ses notions de de courbe de surface c’est c’est des choses sur lequell beaucoup de géomètres ont travaillé au
19e siècle et en particulier en particulier riman donc probablement je suis pas absolument sûr mais susli devait connaître les les travaux de de Ran là ce que ce quiinttroduit li et qui est complètement nouveau c’est l’idée d’une d’un groupe de transformation sur ces objets géométriques et ça c’est une
Idée complètement nouvelle qui n’est pas du tout présente dans riman d’accord une autre question une question également est-ce qu’il y a une correspondance entre les travaux de lit et les travaux de Point Carré alors Point Carré a compris tout de suite ou très très vite que les travaux
De lit étaient importants et je vais je vais le dire dans une il a il a tout de suite compris que c’était important et d’ailleurs je je vais en parler un tout petit peu parce que y a un aspect très spécifique où Point Carré a utilisé cette notion de groupe de transformation
Pour lancer un domaine qui est complètement complètement nouveau s’il vous plaît s’il vous plaît oui je voudrais vous poser la la question il faut parler plus fort j’entends rien oui vous m’entendez oui donc je voulais vous poser la question suivante sur le groupe de lit celui qui
Agit sur la surface de la la sphère quelle est la signification du crochet de lit est-ce que vous avez que vous avez exposé et comment on peut additionner parce qu’on dit toujours que c’est une algebre donc c’est un espace vectoriel comment on peut additionner le résultat du crochet de lit avec par
Exemple le un des éléments x c’est pas évident du tout parce qu’ils paraissent pas être dans le même espace c’estàd ils sont dans des espaces isomorphe mais pas identique alors comment on définit en fait bon c’est la manière dont j’ai expliqué le cette algèbre de l’Î le groupe
Infinitésémal en fait ça consiste à assimiler le groupe qui est lui-même comme une espèce de grande surface enfin un objet de plus grande dimension mais comme une surface on va assimiler le groupe infinitésimale à l’espace tangent à cette surface à cette hypurface et à ce point-là l’espace tangent lui c’est un bon espace
Vectoriel sur lequel on peut faire des additions donc ça j’ai j’ai pas enfin j’ai j’ai pas pu détailler mais il faut j’ai j’ai des ordres là de de continuer donc les dernières années déjà les dernières années de de lit donc après l’apparuition du bouquin d’abord il est il a une grande reconnaissance
Institutionnelle et scientifique c’est clair pour tout le monde que c’est un grand mathématicien il va être élu membre correspondant de l’Académie des Sciences à Paris membre correspondant du de la Royal Society à Londres membre correspondant membre étranger de l’Académie des Sciences américaines en France il a des liens particuliers avec
La France et l’École normale supérieure envoie des étudiants à l’ptique pour travailler avec lit j’ai mentionné Arthur TR tout à l’heure celui qui a donné son nom au groupe de lit Arthur TR a été envoyé par les professeurs de l’École normale supérieure pour travailler auprès de Li et li est invité
En 1894 comme unique conférencier mathématicien à l’occasion du centenaire de l’École normale supérieure donc il a une reconnaissance exceptionnel sur le plan institutionnel et sur le plan scientifique ces dernières années sont mitigées il est professeur en Allemagne mais en fait il n’aime pas être en Allemagne il n’aime
Pas les collègues il trouvent que l’ambiance à l’université est compliquée en fait il est rester norvégien dans dans l’âme il hésite entre rentrer en Norvège rester le rentrer en Norvège ça veut dire en gros s’enterrer sur le plan scientifique parce que même si le courrier marchait très bien à l’époque
Quand même il n’a pas les contacts qu’il peut avoir quand il il est en Allemagne mais il est chez lui rester à laipzig c’est être dans un droit qui n’aime pas beaucoup mais avoir des bons contacts scientifiques il va rentrer quand même à Christiania et mourir en 99 d’une anémie
Pernicieuse qui est aujourd’hui je crois un déficit en vitamine B alors trois grandes directions prises par la théorie de lit après ces travaux de lit la première c’est une étude détaillée des groupes et algebre de lit pour eux-mêm c’est ces groupes de lit qu’il a inventé sont des objets qui sont
Très intéressants mathématiquement et qu’on étudie et qui ont de très nombreuses applications à la géométrie un des noms qu’il faut auquel il faut penser c’est celui du nom du du mathématicien français Ellie Cartan qui travaille à la fin du 19e et au 20e et qui a été un des grands continuateur de
De lit il y a un deuxème une deuxème direction c’est un rôle en physique et une troisième c’est un rôle important des groupes de lit en théorie des nom donc je vais dire quelques mots pour chacune de ces directions donc dès les années 60 on s’intéresse aux propriétés
Des groupes et algeèbre de lit en tant que tel et on les classifie par exemple Cartan avec en complétant des travaux d’un mathétiicien Allemand qui s’appelait killing démontre une fait une classification des algèbres de lit simple complexe c’est un truc de mathématicien comment est-ce qu’on un objet peut être simple et complexe mais
Les deux bon euh donc il y a des travaux extrêmement profonds là-dessus il y a des applications inattendues à à la géométrie en l’occurrence aussi notamment par carton en physique là j’ai trouvé ça récemment un truc que j’ai trouvé sur internet when le groups became physicque quand les
Groupes de lit sont devenus la physique à quel point les groupes de lit jouent un rôle important en physique alors en 1894 pr de manière indépendante de l pierre Cury avait donc voici la photo c’est le mari de Marie Cury qui a eu le prix Nobel de physique avec elle lorsque
Certaines causes produisent certains effets les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produit donc il il énonce un principe c’est que la symétrie des causes donne une étrie des des effets et ce principe est euh complètement central dans la compréhension de la physique et
D’ailleurs on va en voir un exemple avec le théorème de neuther obtenu en 1918 si l’action d’un système physique conservatif est invariante sous l’action d’un groupe de lit il lui correspond alors une loi de conversation de pardon pas conversation mais conservation alors notaire en l’occurrence euh qui ça mérite d’être dit c’est
I notaire une femme une très très grand un très grand mathématicien qui se trouve être une femme donc c’est une photo d’elle prise en 1900 le théorème de notaire est quelque chose qui est enseigné dans les cursus avancés de physique de manière absolument systématique et aussi évidemment pour les spécialistes des équations au
Dérivés partiel en mathématiqu il y a des prolongements en mécanique quantique donc la mécanique quantique c’est la mécanique des phénomènes à très très petite échelle le passage entre mécanique classique et mécanique quantique est un passage compliqué que je veux pas développer d’ailleurs c’est ce serait très serait évidemment infaisable mais
La question c’est de savoir qu’est-ce qui que devient le groupe de symétrie du système classique une fois qu’on est passé dans le modèle quantique dans lequel les objets qu’on considère sont des objets extrêmement abstraits des espaces de Hilbert des opérateurs et cetera et en fait le passage c’est la
Théorie des représentations des groupes de lit qui a émergé notamment particulièrement avec Herman we et qui s’est singulièrement développé quand on a étendu la mécanique quantique à la mécanique quantique relativiste al j’étais un peu obligé d’en parler parce que c’est c’est mon domaine ça a été mon
Domaine de recherche il y a des gens qui ont fait des trucs géniaux pas moi maison bon ça a été mon mon domaine de de recherche en théorie des nombres la théorie des nombres c’est la c’est bizarre comme nom mais c’est la théorie des mathématiques on s’intéresse aux
Priorités des nombres premiers et de divisibilité en 1881 Henri pointcré donc très grand mathématicien français qui est encore très jeune il met en évidence un lien entre certaines fonctions qui sont définies à partir de certaines équations différentielles et le groupe continu un groupe oups le groupe continu PSL de2r peu
Importte ce qui est important c’est qu’on a des équations différentielles ça on peut associer à ces équations différentielles des fonctions c’est des choses qui était très très étudié au 19e siècle et lui a une intuition une intuition incroyable il y a même une anecdote il était en voyage en Normandie
Il a mis le pied sur le pied d’un du tramoou ou d’un d’un coche et tout à coup il s’est rendu compte que le groupe psl2 de r jouait un rôle très important dans cette affaire là c’est le point de départ de la théorie des fonctions automorphes qui
Sont définies à partir de choses qui généralisent essentiellement les groupes de lit alors en fait la théorie de lit ça a des applications dans des directions extrêmement différentes par exemple ici un petit colloque théorie de lit pour le roboticien donc en robotique on a des on utilise la théorie de lit donc
Les groupes et algebre de lit la théorie de lit vous aide à faire des créneaux parallèle parc en anglais ça veut dire faire un créneau garer sa voiture un domaine qui est super à la mode en ce moment c’est ce qu’on appelle le machine learning l’apprentissage par
Les machines et voici un bouquin qui est paru récemment qui utilise les groupes de lit pour le machine learning et quand on veut comprendre la perception visuelle et bien les groupes de lit interviennent et je vais vous donner un exemple tournez votre tête comme ça est-ce que moi j’ai
Tourné non voyez toujours vertical et bien dans vos neurones il y a quelque chose qui redresse l’image parce que ce qui est arrivé sur votre Riten c’est votre rétine c’est pas la même image c’est une image tournée votre votre rétine votre cerveau c’est pas la rétine c’est le cerveau a
Le moyen de redresser l’image donc il y a un groupe de lit vous avez un groupe de lit dans la tête j’ai interrogé là il y a quelques jours un moteur de recherche dont je ne citerai pas le nom et j’ai tapé le groups on trouve plus de réponses en
Anglais la réponse c’est 1 Millard 230 millions de réponses je vais pas pouvoir tout dire donc je préfère m’arrêter [Musique] là il nous reste un tout petit peu de temps pour une une question rapide euh moi je me demandais par rapport à au plan tangent à la sphère
Qu’on a vu tout à l’heure oui est-ce que le crochet de lit c’est une façon alors excusez-moi si je suis mal à droite de parler de d’une dérivée d’un d’un d’un groupe de symétrie qui se rapprocher au maximum c’est c’est enfin c’est c’est enfin faudrait être beaucoup plus précis mais
Oui la réponse est oui c’est c’est ça le groupe l’algebre de l c’est quelque chose qui qu’on obtient en dérivant quelque chose qui est sur le groupe de lit c’est exactement ça c’est exactement ça merci merci à tous avant de se quitter l’annonce de la prochaine conférence la prochaine conférence ce
Sera Élise Goujard le 7 février mercredi qui nous parlera de la mathématicienne Mariam mirsarani merci encore Martin et à la [Applaudissements] [Musique] prochaine